Номер 215, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

215. Для каких натуральных значений $n$ функция $y = x^n$:

а) чётная;

б) нечётная;

в) непрерывна на промежутке $(-\infty; +\infty)$?

а) чётная;
Функция $y = f(x)$ называется чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Область определения функции $y = x^n$ для натурального $n$ — это вся числовая прямая $(-\infty; +\infty)$, которая симметрична относительно нуля.
Проверим выполнение равенства $y(-x) = y(x)$:
$y(-x) = (-x)^n = (-1)^n x^n$.
$y(x) = x^n$.
Равенство $(-1)^n x^n = x^n$ должно выполняться для любого $x$. Это возможно только в том случае, если $(-1)^n = 1$.
Это условие выполняется, когда $n$ — чётное натуральное число.
Ответ: для всех чётных натуральных значений $n$ (т.е. $n = 2k$, где $k \in \mathbb{N}$).

б) нечётная;
Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
Область определения функции $y = x^n$ симметрична.
Проверим выполнение равенства $y(-x) = -y(x)$:
$y(-x) = (-x)^n = (-1)^n x^n$.
$-y(x) = -x^n$.
Равенство $(-1)^n x^n = -x^n$ должно выполняться для любого $x$. Это возможно только в том случае, если $(-1)^n = -1$.
Это условие выполняется, когда $n$ — нечётное натуральное число.
Ответ: для всех нечётных натуральных значений $n$ (т.е. $n = 2k-1$, где $k \in \mathbb{N}$).

в) непрерывна на промежутке $(-\infty; +\infty)$?
Функция $y=x^n$ с натуральным показателем степени $n$ ($n \in \mathbb{N}$) является полиномиальной функцией (одночленом).
Любая полиномиальная функция непрерывна на всей числовой оси, то есть на промежутке $(-\infty; +\infty)$.
Это свойство не зависит от того, является ли показатель $n$ чётным или нечётным.
Следовательно, функция $y=x^n$ непрерывна на указанном промежутке для любого натурального значения $n$.
Ответ: для любого натурального значения $n$ ($n \in \mathbb{N}$).