Страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

215. Для каких натуральных значений $n$ функция $y = x^n$:

а) чётная;

б) нечётная;

в) непрерывна на промежутке $(-\infty; +\infty)$?

а) чётная;
Функция $y = f(x)$ называется чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Область определения функции $y = x^n$ для натурального $n$ — это вся числовая прямая $(-\infty; +\infty)$, которая симметрична относительно нуля.
Проверим выполнение равенства $y(-x) = y(x)$:
$y(-x) = (-x)^n = (-1)^n x^n$.
$y(x) = x^n$.
Равенство $(-1)^n x^n = x^n$ должно выполняться для любого $x$. Это возможно только в том случае, если $(-1)^n = 1$.
Это условие выполняется, когда $n$ — чётное натуральное число.
Ответ: для всех чётных натуральных значений $n$ (т.е. $n = 2k$, где $k \in \mathbb{N}$).

б) нечётная;
Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
Область определения функции $y = x^n$ симметрична.
Проверим выполнение равенства $y(-x) = -y(x)$:
$y(-x) = (-x)^n = (-1)^n x^n$.
$-y(x) = -x^n$.
Равенство $(-1)^n x^n = -x^n$ должно выполняться для любого $x$. Это возможно только в том случае, если $(-1)^n = -1$.
Это условие выполняется, когда $n$ — нечётное натуральное число.
Ответ: для всех нечётных натуральных значений $n$ (т.е. $n = 2k-1$, где $k \in \mathbb{N}$).

в) непрерывна на промежутке $(-\infty; +\infty)$?
Функция $y=x^n$ с натуральным показателем степени $n$ ($n \in \mathbb{N}$) является полиномиальной функцией (одночленом).
Любая полиномиальная функция непрерывна на всей числовой оси, то есть на промежутке $(-\infty; +\infty)$.
Это свойство не зависит от того, является ли показатель $n$ чётным или нечётным.
Следовательно, функция $y=x^n$ непрерывна на указанном промежутке для любого натурального значения $n$.
Ответ: для любого натурального значения $n$ ($n \in \mathbb{N}$).

216. Относительно чего симметричен график функции $y = x^n$:

а) при $n$ чётном;

б) при $n$ нечётном?

а) при n чётном

Чтобы определить симметрию графика функции $y = f(x) = x^n$, необходимо исследовать её на чётность. Функция называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

Рассмотрим случай, когда $n$ — чётное натуральное число. Найдём значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (-x)^n$

Поскольку показатель степени $n$ является чётным числом, то $(-1)^n = 1$. Таким образом, мы получаем:

$f(-x) = (-1)^n \cdot x^n = 1 \cdot x^n = x^n = f(x)$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной. Следовательно, её график симметричен относительно оси ординат. Примерами таких функций являются $y = x^2$ (парабола), $y = x^4$ и т.д.

Ответ: при $n$ чётном график функции $y = x^n$ симметричен относительно оси ординат.

б) при n нечётном

Функция называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки $(0, 0)$).

Рассмотрим случай, когда $n$ — нечётное натуральное число. Найдём значение функции $f(x) = x^n$ в точке $-x$:

$f(-x) = (-x)^n$

Поскольку показатель степени $n$ является нечётным числом, то $(-1)^n = -1$. Таким образом, мы получаем:

$f(-x) = (-1)^n \cdot x^n = -1 \cdot x^n = -x^n = -f(x)$

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной. Следовательно, её график симметричен относительно начала координат. Примерами таких функций являются $y = x$ (прямая), $y = x^3$ (кубическая парабола) и т.д.

Ответ: при $n$ нечётном график функции $y = x^n$ симметричен относительно начала координат.

217. Дана функция $y = x^3$. Вычислите значения $y(0)$, $y(1)$, $y(-1)$, $y(-2)$, $y\left(\frac{1}{2}\right)$, $y(-0,5)$, $y\left(\frac{1}{3}\right)$, $y\left(-\frac{1}{3}\right)$. Решение оформите в виде таблицы.

Для вычисления значений функции $y = x^3$ необходимо подставить заданные значения аргумента $x$ в формулу функции.

y(0)

$y(0) = 0^3 = 0$.
Ответ: 0

y(1)

$y(1) = 1^3 = 1$.
Ответ: 1

y(-1)

$y(-1) = (-1)^3 = -1$.
Ответ: -1

y(-2)

$y(-2) = (-2)^3 = -8$.
Ответ: -8

y($\frac{1}{2}$)

$y(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

y(-0,5)

Так как $-0,5$ это то же самое, что и $-\frac{1}{2}$, вычисляем: $y(-0,5) = (-0,5)^3 = (-0,5) \times (-0,5) \times (-0,5) = -0,125$.
В виде дроби: $y(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1^3}{2^3} = -\frac{1}{8}$.
Ответ: -0,125

y($\frac{1}{3}$)

$y(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$.
Ответ: $\frac{1}{27}$

y($-\frac{1}{3}$)

$y(-\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{3})^3 = -\frac{1^3}{3^3} = -\frac{1}{27}$.
Ответ: $-\frac{1}{27}$

Оформим результаты вычислений в виде таблицы, упорядочив значения $x$ по возрастанию.

218. Дана функция $y = x^4$. Заполните таблицу значений функции при $x$, равном $0$; $1$; $-1$; $2$; $-2$; $3$; $-3$; $\frac{1}{2}$; $-0,5$; $\frac{1}{3}$; $-\frac{1}{3}$; $\frac{1}{4}$; $-0,25$; $1\frac{1}{2}$; $-1\frac{1}{2}$.

Для того чтобы заполнить таблицу значений функции $y = x^4$, необходимо поочередно подставить каждое заданное значение $x$ в это уравнение и вычислить соответствующее значение $y$.

Заметим, что функция $y = x^4$ является четной, поскольку для любого $x$ выполняется равенство $y(-x) = (-x)^4 = x^4 = y(x)$. Это означает, что для противоположных по знаку значений аргумента (например, $2$ и $-2$), значения функции будут одинаковы.

При x = 0:

Подставляем значение $x=0$ в функцию: $y = 0^4 = 0$.

Ответ: $0$.

При x = 1:

Подставляем значение $x=1$ в функцию: $y = 1^4 = 1$.

Ответ: $1$.

При x = -1:

Подставляем значение $x=-1$ в функцию: $y = (-1)^4 = 1$.

Ответ: $1$.

При x = 2:

Подставляем значение $x=2$ в функцию: $y = 2^4 = 16$.

Ответ: $16$.

При x = -2:

Подставляем значение $x=-2$ в функцию: $y = (-2)^4 = 16$.

Ответ: $16$.

При x = 3:

Подставляем значение $x=3$ в функцию: $y = 3^4 = 81$.

Ответ: $81$.

При x = -3:

Подставляем значение $x=-3$ в функцию: $y = (-3)^4 = 81$.

Ответ: $81$.

При x = $\frac{1}{2}$:

Подставляем значение $x=\frac{1}{2}$ в функцию: $y = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$.

Ответ: $\frac{1}{16}$.

При x = -0,5:

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,5 = -\frac{1}{2}$. Подставляем значение в функцию: $y = \left(-\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{(-1)^4}{2^4} = \frac{1}{16}$.

Ответ: $\frac{1}{16}$.

При x = $\frac{1}{3}$:

Подставляем значение $x=\frac{1}{3}$ в функцию: $y = \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1^4}{3^4} = \frac{1}{81}$.

Ответ: $\frac{1}{81}$.

При x = $-\frac{1}{3}$:

Подставляем значение $x=-\frac{1}{3}$ в функцию: $y = \left(-\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{(-1)^4}{3^4} = \frac{1}{81}$.

Ответ: $\frac{1}{81}$.

При x = $\frac{1}{4}$:

Подставляем значение $x=\frac{1}{4}$ в функцию: $y = \left(\frac{1}{4}\right)^4 = \frac{1^4}{4^4} = \frac{1}{256}$.

Ответ: $\frac{1}{256}$.

При x = -0,25:

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,25 = -\frac{1}{4}$. Подставляем значение в функцию: $y = \left(-\frac{1}{4}\right)^4 = \frac{(-1)^4}{4^4} = \frac{1}{256}$.

Ответ: $\frac{1}{256}$.

При x = $1\frac{1}{2}$:

Представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Подставляем значение в функцию: $y = \left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16}$.

Ответ: $\frac{81}{16}$.

При x = $-1\frac{1}{2}$:

Представим смешанное число в виде неправильной дроби: $-1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$. Подставляем значение в функцию: $y = \left(-\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{(-3)^4}{2^4} = \frac{81}{16}$.

Ответ: $\frac{81}{16}$.

219. Дана функция $y = x^5$. Верно ли равенство:

а) $y(-2) = -32;$

б) $y(-1) = -1;$

в) $y(3) = 243;$

г) $y(-2) = 32?$

Дана функция $y = x^5$. Для проверки каждого равенства необходимо подставить значение аргумента $x$ (число в скобках) в формулу функции и вычислить значение $y$.

а) Проверим равенство $y(-2) = -32$.

Подставляем $x = -2$ в функцию:

$y(-2) = (-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32$.

Результат вычисления совпадает с числом в равенстве. Таким образом, равенство верно.

Ответ: верно.

б) Проверим равенство $y(-1) = -1$.

Подставляем $x = -1$ в функцию:

$y(-1) = (-1)^5 = -1$.

Результат вычисления совпадает с числом в равенстве. Таким образом, равенство верно.

Ответ: верно.

в) Проверим равенство $y(3) = 243$.

Подставляем $x = 3$ в функцию:

$y(3) = 3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$.

Результат вычисления совпадает с числом в равенстве. Таким образом, равенство верно.

Ответ: верно.

г) Проверим равенство $y(-2) = 32$.

Подставляем $x = -2$ в функцию:

$y(-2) = (-2)^5 = -32$.

Результат вычисления ($-32$) не совпадает с числом в равенстве ($32$). Таким образом, равенство неверно.

Ответ: неверно.

220. Вычислите значения функции $y = x^3$, взяв $x$ от -1 до 1 через 0,2. Решение оформите в виде таблицы.

Для решения задачи необходимо вычислить значения функции $y = x^3$ для заданных значений аргумента $x$. Аргумент $x$ изменяется на отрезке от -1 до 1 с шагом 0,2. Это означает, что мы должны рассмотреть следующие значения $x$: -1; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1.

Проведем вычисления для каждого значения $x$:

• При $x = -1$: $y = (-1)^3 = -1$.
• При $x = -0,8$: $y = (-0,8)^3 = -0,512$.
• При $x = -0,6$: $y = (-0,6)^3 = -0,216$.
• При $x = -0,4$: $y = (-0,4)^3 = -0,064$.
• При $x = -0,2$: $y = (-0,2)^3 = -0,008$.
• При $x = 0$: $y = 0^3 = 0$.
• При $x = 0,2$: $y = (0,2)^3 = 0,008$.
• При $x = 0,4$: $y = (0,4)^3 = 0,064$.
• При $x = 0,6$: $y = (0,6)^3 = 0,216$.
• При $x = 0,8$: $y = (0,8)^3 = 0,512$.
• При $x = 1$: $y = 1^3 = 1$.

Теперь представим полученные результаты в виде таблицы, как требуется в условии задачи.

Ответ:

221. При каких значениях аргумента значение функции:

а) $y = x^4$ равно 0; 1; -1; 16;

б) $y = x^3$ равно 0; 1; -1; -8; 64?

а) Для функции $y = x^4$ необходимо найти значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно $0; 1; -1; 16$. Для этого решим соответствующие уравнения.

1. Если значение функции равно 0, то получаем уравнение $x^4 = 0$.
Единственное число, которое при возведении в четвертую степень дает 0, это 0. Следовательно, $x=0$.

2. Если значение функции равно 1, то получаем уравнение $x^4 = 1$.
Так как показатель степени (4) является четным числом, уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = \sqrt[4]{1} = 1$ и $x_2 = -1$.

3. Если значение функции равно -1, то получаем уравнение $x^4 = -1$.
Возведение любого действительного числа в четную степень ($x^4$) всегда дает неотрицательный результат ($x^4 \ge 0$). Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

4. Если значение функции равно 16, то получаем уравнение $x^4 = 16$.
Уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = \sqrt[4]{16} = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: значение функции равно 0 при $x=0$; равно 1 при $x=1$ и $x=-1$; не существует таких $x$, при которых значение функции равно -1; равно 16 при $x=2$ и $x=-2$.

б) Для функции $y = x^3$ необходимо найти значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно $0; 1; -1; -8; 64$. Для этого решим соответствующие уравнения.

1. Если значение функции равно 0, то получаем уравнение $x^3 = 0$.
Единственный корень этого уравнения — $x=0$.

2. Если значение функции равно 1, то получаем уравнение $x^3 = 1$.
Так как показатель степени (3) является нечетным числом, уравнение имеет один действительный корень: $x = \sqrt[3]{1} = 1$.

3. Если значение функции равно -1, то получаем уравнение $x^3 = -1$.
Уравнение имеет один действительный корень: $x = \sqrt[3]{-1} = -1$.

4. Если значение функции равно -8, то получаем уравнение $x^3 = -8$.
Уравнение имеет один действительный корень: $x = \sqrt[3]{-8} = -2$.

5. Если значение функции равно 64, то получаем уравнение $x^3 = 64$.
Уравнение имеет один действительный корень: $x = \sqrt[3]{64} = 4$.

Ответ: значение функции равно 0 при $x=0$; равно 1 при $x=1$; равно -1 при $x=-1$; равно -8 при $x=-2$; равно 64 при $x=4$.

222. Какова область значений функции:

а) $y = x^4$;

б) $y = x^3$?

а) Чтобы найти область значений функции $y = x^4$, нужно определить все возможные значения, которые может принимать переменная $y$.
Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, то есть $x$ может быть любым числом от $-\infty$ до $+\infty$.
Показатель степени в выражении $x^4$ равен 4, что является четным числом. При возведении любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) в четную степень, результат всегда будет неотрицательным числом ($y \ge 0$).

• Если $x=0$, то $y=0^4=0$. Это наименьшее значение функции.
• Если $x \neq 0$ (например, $x=2$ или $x=-2$), то $y$ будет положительным числом ($y=2^4=16$, $y=(-2)^4=16$).

Поскольку $x$ может быть сколь угодно большим по модулю, значение $y$ может быть сколь угодно большим положительным числом. Таким образом, область значений функции включает 0 и все положительные числа.
Ответ: $y \in [0; +\infty)$.

б) Чтобы найти область значений функции $y = x^3$, нужно определить все возможные значения, которые может принимать переменная $y$.
Областью определения этой функции также является множество всех действительных чисел.
Показатель степени в выражении $x^3$ равен 3, что является нечетным числом. При возведении действительного числа в нечетную степень, знак результата совпадает со знаком исходного числа.

• Если $x > 0$, то $y = x^3 > 0$ (например, при $x=2$, $y=8$).
• Если $x < 0$, то $y = x^3 < 0$ (например, при $x=-2$, $y=-8$).
• Если $x = 0$, то $y = 0^3 = 0$.

Поскольку $x$ может принимать любое значение на всей числовой оси, от $-\infty$ до $+\infty$, то и $y$ также может принимать любое значение от $-\infty$ до $+\infty$.
Ответ: множество всех действительных чисел, то есть $y \in (-\infty; +\infty)$.

223. Дана функция $y = x^3$.

а) Какие значения принимает данная функция, если $x \ge 0$, $x < 0$?

б) В каких четвертях расположен график данной функции? Ответ обоснуйте.

в) Является ли данная функция чётной (нечётной)? Ответ обоснуйте.

г) Покажите, что данная функция возрастает на интервале $(-\infty; +\infty)$.

д) Постройте в декартовой системе координат точки $(x; x^3)$, взяв $x$ от -1,5 до 1,5 через 0,5.

е) Постройте в той же системе координат точки $(x; x^3)$, взяв $x$ от -0,5 до 0,5 через 0,2.

ж) Учитывая непрерывность функции $y = x^3$, постройте её график.

з) Укажите с помощью графика функции $y = x^3$, при каких $x$ значения функции больше 1; меньше -1.

а) Какие значения принимает данная функция, если $x \ge 0$, $x < 0$?

Чтобы определить значения функции $y=x^3$ при различных значениях $x$, рассмотрим два случая:

1. Если $x \ge 0$ (x — неотрицательное число), то его куб $x^3$ также будет неотрицательным числом. Например, если $x=0$, то $y=0^3=0$. Если $x=2$, то $y=2^3=8$. При увеличении $x$, значение $y$ также увеличивается. Таким образом, если $x \ge 0$, то $y \ge 0$. Область значений для этого случая: $[0; +\infty)$.

2. Если $x < 0$ (x — отрицательное число), то его куб $x^3$ будет отрицательным числом, так как нечетная степень отрицательного числа отрицательна. Например, если $x=-2$, то $y=(-2)^3=-8$. Таким образом, если $x < 0$, то $y < 0$. Область значений для этого случая: $(-\infty; 0)$.

Ответ: если $x \ge 0$, то $y \ge 0$; если $x < 0$, то $y < 0$.

б) В каких четвертях расположен график данной функции? Ответ обоснуйте.

Расположение графика функции в координатных четвертях определяется знаками координат $x$ и $y$.

• I четверть: $x > 0, y > 0$. Как было показано в пункте а), если $x > 0$, то $y=x^3 > 0$. Следовательно, часть графика расположена в первой четверти.

• III четверть: $x < 0, y < 0$. Как было показано в пункте а), если $x < 0$, то $y=x^3 < 0$. Следовательно, часть графика расположена в третьей четверти.

В II ($x < 0, y > 0$) и IV ($x > 0, y < 0$) четвертях график функции $y=x^3$ не проходит, так как знаки $x$ и $y$ всегда совпадают (или оба равны нулю).

Ответ: график функции расположен в I и III четвертях.

в) Является ли данная функция чётной (нечётной)? Ответ обоснуйте.

Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Функция $f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Область определения функции $y = x^3$ — все действительные числа $(-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля. Проверим значение функции для $-x$:

$y(-x) = (-x)^3 = (-1)^3 \cdot x^3 = -x^3$.

Сравним полученный результат с $y(x)=x^3$ и $-y(x)=-x^3$.

Так как $y(-x) = -x^3 = -y(x)$, то функция является нечётной.

Так как $y(-x) = -x^3 \neq y(x)$ (для $x \neq 0$), функция не является чётной.

Ответ: функция является нечётной.

г) Покажите, что данная функция возрастает на интервале $(-\infty; +\infty)$.

Функция называется возрастающей на интервале, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Пусть $y(x) = x^3$. Возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 < x_2$. Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$y(x_2) - y(x_1) = x_2^3 - x_1^3$.

Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

$x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2)$.

Проанализируем знаки множителей:

1. Так как по условию $x_1 < x_2$, то разность $x_2 - x_1 > 0$.

2. Выражение $x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2$ можно представить в виде неполного квадрата суммы: $x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 = (x_1 + \frac{1}{2}x_2)^2 + \frac{3}{4}x_2^2$. Эта сумма неотрицательна. Она равна нулю только если одновременно $(x_1 + \frac{1}{2}x_2)^2 = 0$ и $\frac{3}{4}x_2^2=0$, что возможно только при $x_2=0$ и $x_1=0$. Но так как $x_1 < x_2$, этот случай невозможен. Следовательно, выражение $x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2$ всегда строго больше нуля.

Произведение двух положительных множителей $(x_2 - x_1)$ и $(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2)$ положительно:

$y(x_2) - y(x_1) > 0$, что означает $y(x_2) > y(x_1)$.

Так как для любых $x_1 < x_2$ выполняется $y(x_1) < y(x_2)$, функция $y=x^3$ возрастает на всем интервале $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: доказано, что функция возрастает на интервале $(-\infty; +\infty)$.

д) Постройте в декартовой системе координат точки $(x; x^3)$, взяв $x$ от $-1,5$ до $1,5$ через $0,5$.

Составим таблицу значений функции $y=x^3$ для заданных значений $x$:

Ответ: точки для построения: $(-1.5, -3.375)$, $(-1, -1)$, $(-0.5, -0.125)$, $(0, 0)$, $(0.5, 0.125)$, $(1, 1)$, $(1.5, 3.375)$.

е) Постройте в той же системе координат точки $(x; x^3)$, взяв $x$ от $-0,5$ до $0,5$ через $0,2$.

Составим таблицу значений для более детального построения графика вблизи начала координат:

Ответ: дополнительные точки для построения: $(-0.3, -0.027)$, $(-0.1, -0.001)$, $(0.1, 0.001)$, $(0.3, 0.027)$.

ж) Учитывая непрерывность функции $y = x^3$, постройте её график.

Для построения графика функции $y=x^3$ нанесём на координатную плоскость точки, вычисленные в пунктах д) и е). Поскольку функция $y=x^3$ является непрерывной на всей числовой оси, мы можем соединить эти точки плавной линией. Полученный график называется кубической параболой. Он проходит через начало координат, симметричен относительно начала координат (так как функция нечётная), расположен в I и III координатных четвертях и монотонно возрастает.

Ответ: график (кубическая парабола) построен на изображении выше.

з) Укажите с помощью графика функции $y = x^3$, при каких $x$ значения функции больше 1; меньше $-1$.

Чтобы найти значения $x$, для которых выполняются неравенства, воспользуемся построенным графиком.

1. Значения функции больше 1 ($y > 1$)

   Найдём на графике горизонтальную линию $y=1$. Точка пересечения этой линии с графиком функции $y=x^3$ происходит при $x^3=1$, то есть при $x=1$. Это точка $(1, 1)$.

   Нас интересуют те части графика, которые лежат выше линии $y=1$. Поскольку функция монотонно возрастает, все значения $x$, которые больше 1, будут давать значения $y$, которые больше 1.
   Следовательно, $y > 1$ при $x > 1$.

2. Значения функции меньше $-1$ ($y < -1$)

   Аналогично, найдём на графике горизонтальную линию $y=-1$. Точка пересечения этой линии с графиком функции $y=x^3$ происходит при $x^3=-1$, то есть при $x=-1$. Это точка $(-1, -1)$.

   Нас интересуют те части графика, которые лежат ниже линии $y=-1$. Так как функция возрастает, все значения $x$, которые меньше -1, будут давать значения $y$, которые меньше -1.
   Следовательно, $y < -1$ при $x < -1$.

Ответ: значения функции больше 1 при $x \in (1; +\infty)$; значения функции меньше $-1$ при $x \in (-\infty; -1)$.

224. Дана функция $y = x^4$. Исследуйте эту функцию по схеме предыдущего задания и постройте её график.

Проведем полное исследование функции $y = x^4$ и построим ее график.

1. Область определения

Функция $y = x^4$ является степенной функцией с натуральным показателем, которая определена для всех действительных чисел. Ограничений на значения $x$ нет.

Ответ: область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и периодичность

Проверим функцию на четность, подставив $-x$ вместо $x$:

$y(-x) = (-x)^4 = x^4 = y(x)$

Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).
Функция не является периодической, так как не существует такого числа $T \ne 0$, чтобы $y(x+T) = y(x)$ для всех $x$.

Ответ: функция четная, непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат

Чтобы найти точку пересечения с осью OY, положим $x=0$:

$y = 0^4 = 0$.

Таким образом, график пересекает ось OY в точке $(0, 0)$.
Чтобы найти точки пересечения с осью OX, положим $y=0$:

$x^4 = 0 \implies x = 0$.

График пересекает ось OX также в точке $(0, 0)$. Это единственная точка пересечения с осями.

Ответ: точка пересечения с осями координат — $(0, 0)$.

4. Промежутки знакопостоянства

Определим, на каких интервалах функция принимает положительные или отрицательные значения.
$y > 0 \implies x^4 > 0$. Это неравенство верно для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$.
$y < 0 \implies x^4 < 0$. Это неравенство не имеет решений в действительных числах.
Функция неотрицательна на всей области определения.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; $y=0$ при $x=0$.

5. Промежутки возрастания, убывания и экстремумы

Найдем первую производную функции, чтобы определить интервалы монотонности:
$y' = (x^4)' = 4x^3$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0 \implies 4x^3 = 0 \implies x=0$.
Определим знаки производной на интервалах, на которые точка $x=0$ разбивает числовую ось:
- на интервале $(-\infty; 0)$, производная $y' < 0$ (например, $y'(-1) = -4$), значит, функция убывает на $(-\infty; 0]$.
- на интервале $(0; +\infty)$, производная $y' > 0$ (например, $y'(1) = 4$), значит, функция возрастает на $[0; +\infty)$.
Поскольку в точке $x=0$ производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является точкой локального минимума.
Значение функции в точке минимума: $y_{min} = y(0) = 0$. Точка $(0, 0)$ является точкой минимума (и глобального минимума).

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$; точка минимума $(0, 0)$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Найдем вторую производную для определения выпуклости графика:
$y'' = (4x^3)' = 12x^2$.
Определим знак второй производной: $y'' = 12x^2 \ge 0$ для всех $x \in D(y)$.
Так как вторая производная неотрицательна на всей области определения, график функции является вогнутым (или выпуклым вниз) на всем промежутке $(-\infty; +\infty)$.
Точек перегиба нет, так как знак второй производной не изменяется (она равна нулю только в одной точке $x=0$, но не меняет знак).

Ответ: график функции вогнутый на всей области определения, точек перегиба нет.

7. Асимптоты

Поскольку функция непрерывна на всей числовой оси, вертикальных асимптот у нее нет.
Проверим наличие горизонтальных асимптот, найдя пределы на бесконечности:
$\lim_{x \to +\infty} x^4 = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} x^4 = +\infty$
Так как пределы не являются конечными числами, горизонтальных асимптот нет.
Проверим наличие наклонных асимптот вида $y = kx+b$:
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^4}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} x^3 = \pm\infty$.
Так как предел $k$ не является конечным числом, наклонных асимптот также нет.

Ответ: асимптот у графика функции нет.

8. Построение графика

Сведем полученные данные воедино. График симметричен относительно оси OY, проходит через начало координат, где имеет точку минимума $(0, 0)$. Функция убывает слева от нуля и возрастает справа. Ветви графика направлены вверх. График всюду вогнутый (выпуклый вниз).
Для более точного построения вычислим значения функции в нескольких точках:

График функции $y=x^4$ напоминает параболу $y=x^2$, однако он более "плоский" вблизи нуля (на интервале $(-1, 1)$) и растет значительно быстрее при $|x|>1$.

Ответ: график функции построен на основе проведенного исследования.