Номер 223, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

223. Дана функция $y = x^3$.

а) Какие значения принимает данная функция, если $x \ge 0$, $x < 0$?

б) В каких четвертях расположен график данной функции? Ответ обоснуйте.

в) Является ли данная функция чётной (нечётной)? Ответ обоснуйте.

г) Покажите, что данная функция возрастает на интервале $(-\infty; +\infty)$.

д) Постройте в декартовой системе координат точки $(x; x^3)$, взяв $x$ от -1,5 до 1,5 через 0,5.

е) Постройте в той же системе координат точки $(x; x^3)$, взяв $x$ от -0,5 до 0,5 через 0,2.

ж) Учитывая непрерывность функции $y = x^3$, постройте её график.

з) Укажите с помощью графика функции $y = x^3$, при каких $x$ значения функции больше 1; меньше -1.

а) Какие значения принимает данная функция, если $x \ge 0$, $x < 0$?

Чтобы определить значения функции $y=x^3$ при различных значениях $x$, рассмотрим два случая:

1. Если $x \ge 0$ (x — неотрицательное число), то его куб $x^3$ также будет неотрицательным числом. Например, если $x=0$, то $y=0^3=0$. Если $x=2$, то $y=2^3=8$. При увеличении $x$, значение $y$ также увеличивается. Таким образом, если $x \ge 0$, то $y \ge 0$. Область значений для этого случая: $[0; +\infty)$.

2. Если $x < 0$ (x — отрицательное число), то его куб $x^3$ будет отрицательным числом, так как нечетная степень отрицательного числа отрицательна. Например, если $x=-2$, то $y=(-2)^3=-8$. Таким образом, если $x < 0$, то $y < 0$. Область значений для этого случая: $(-\infty; 0)$.

Ответ: если $x \ge 0$, то $y \ge 0$; если $x < 0$, то $y < 0$.

б) В каких четвертях расположен график данной функции? Ответ обоснуйте.

Расположение графика функции в координатных четвертях определяется знаками координат $x$ и $y$.

• I четверть: $x > 0, y > 0$. Как было показано в пункте а), если $x > 0$, то $y=x^3 > 0$. Следовательно, часть графика расположена в первой четверти.

• III четверть: $x < 0, y < 0$. Как было показано в пункте а), если $x < 0$, то $y=x^3 < 0$. Следовательно, часть графика расположена в третьей четверти.

В II ($x < 0, y > 0$) и IV ($x > 0, y < 0$) четвертях график функции $y=x^3$ не проходит, так как знаки $x$ и $y$ всегда совпадают (или оба равны нулю).

Ответ: график функции расположен в I и III четвертях.

в) Является ли данная функция чётной (нечётной)? Ответ обоснуйте.

Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Функция $f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Область определения функции $y = x^3$ — все действительные числа $(-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля. Проверим значение функции для $-x$:

$y(-x) = (-x)^3 = (-1)^3 \cdot x^3 = -x^3$.

Сравним полученный результат с $y(x)=x^3$ и $-y(x)=-x^3$.

Так как $y(-x) = -x^3 = -y(x)$, то функция является нечётной.

Так как $y(-x) = -x^3 \neq y(x)$ (для $x \neq 0$), функция не является чётной.

Ответ: функция является нечётной.

г) Покажите, что данная функция возрастает на интервале $(-\infty; +\infty)$.

Функция называется возрастающей на интервале, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Пусть $y(x) = x^3$. Возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 < x_2$. Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$y(x_2) - y(x_1) = x_2^3 - x_1^3$.

Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

$x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2)$.

Проанализируем знаки множителей:

1. Так как по условию $x_1 < x_2$, то разность $x_2 - x_1 > 0$.

2. Выражение $x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2$ можно представить в виде неполного квадрата суммы: $x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 = (x_1 + \frac{1}{2}x_2)^2 + \frac{3}{4}x_2^2$. Эта сумма неотрицательна. Она равна нулю только если одновременно $(x_1 + \frac{1}{2}x_2)^2 = 0$ и $\frac{3}{4}x_2^2=0$, что возможно только при $x_2=0$ и $x_1=0$. Но так как $x_1 < x_2$, этот случай невозможен. Следовательно, выражение $x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2$ всегда строго больше нуля.

Произведение двух положительных множителей $(x_2 - x_1)$ и $(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2)$ положительно:

$y(x_2) - y(x_1) > 0$, что означает $y(x_2) > y(x_1)$.

Так как для любых $x_1 < x_2$ выполняется $y(x_1) < y(x_2)$, функция $y=x^3$ возрастает на всем интервале $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: доказано, что функция возрастает на интервале $(-\infty; +\infty)$.

д) Постройте в декартовой системе координат точки $(x; x^3)$, взяв $x$ от $-1,5$ до $1,5$ через $0,5$.

Составим таблицу значений функции $y=x^3$ для заданных значений $x$:

Ответ: точки для построения: $(-1.5, -3.375)$, $(-1, -1)$, $(-0.5, -0.125)$, $(0, 0)$, $(0.5, 0.125)$, $(1, 1)$, $(1.5, 3.375)$.

е) Постройте в той же системе координат точки $(x; x^3)$, взяв $x$ от $-0,5$ до $0,5$ через $0,2$.

Составим таблицу значений для более детального построения графика вблизи начала координат:

Ответ: дополнительные точки для построения: $(-0.3, -0.027)$, $(-0.1, -0.001)$, $(0.1, 0.001)$, $(0.3, 0.027)$.

ж) Учитывая непрерывность функции $y = x^3$, постройте её график.

Для построения графика функции $y=x^3$ нанесём на координатную плоскость точки, вычисленные в пунктах д) и е). Поскольку функция $y=x^3$ является непрерывной на всей числовой оси, мы можем соединить эти точки плавной линией. Полученный график называется кубической параболой. Он проходит через начало координат, симметричен относительно начала координат (так как функция нечётная), расположен в I и III координатных четвертях и монотонно возрастает.

Ответ: график (кубическая парабола) построен на изображении выше.

з) Укажите с помощью графика функции $y = x^3$, при каких $x$ значения функции больше 1; меньше $-1$.

Чтобы найти значения $x$, для которых выполняются неравенства, воспользуемся построенным графиком.

1. Значения функции больше 1 ($y > 1$)

   Найдём на графике горизонтальную линию $y=1$. Точка пересечения этой линии с графиком функции $y=x^3$ происходит при $x^3=1$, то есть при $x=1$. Это точка $(1, 1)$.

   Нас интересуют те части графика, которые лежат выше линии $y=1$. Поскольку функция монотонно возрастает, все значения $x$, которые больше 1, будут давать значения $y$, которые больше 1.
   Следовательно, $y > 1$ при $x > 1$.

2. Значения функции меньше $-1$ ($y < -1$)

   Аналогично, найдём на графике горизонтальную линию $y=-1$. Точка пересечения этой линии с графиком функции $y=x^3$ происходит при $x^3=-1$, то есть при $x=-1$. Это точка $(-1, -1)$.

   Нас интересуют те части графика, которые лежат ниже линии $y=-1$. Так как функция возрастает, все значения $x$, которые меньше -1, будут давать значения $y$, которые меньше -1.
   Следовательно, $y < -1$ при $x < -1$.

Ответ: значения функции больше 1 при $x \in (1; +\infty)$; значения функции меньше $-1$ при $x \in (-\infty; -1)$.