Номер 229, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

229. В одной системе координат постройте графики функций $y = x^4$ и $y = x^3$.

а) Сравните значения этих функций на промежутке $(0; 1)$; $(1; +\infty)$.

б) При каких значениях $x$ значения каждой из данных функций больше $0$? меньше $0$? больше $1$? меньше $1$?

в) Существуют ли такие значения $x$, при которых значения функции $y = x^3$ больше соответствующих значений функции $y = x^4$?

г) На каком промежутке каждая из данных функций является возрастающей? убывающей?

Для решения задачи сначала проанализируем и построим (мысленно) графики функций $y = x^4$ и $y = x^3$.

Функция $y = x^4$ является степенной функцией с четным показателем. Её график симметричен относительно оси ординат (OY), так как функция четная ($(-x)^4 = x^4$). График проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(-1, 1)$. Ветви графика направлены вверх.

Функция $y = x^3$ является степенной функцией с нечетным показателем. Её график (кубическая парабола) симметричен относительно начала координат, так как функция нечетная ($(-x)^3 = -x^3$). График проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

Найдем точки пересечения этих двух графиков, решив уравнение $x^4 = x^3$:
$x^4 - x^3 = 0$
$x^3(x - 1) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x=0$, то $y = 0^3 = 0$.
Если $x=1$, то $y = 1^3 = 1$.
Следовательно, графики пересекаются в точках $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

а)

Чтобы сравнить значения функций на заданных промежутках, рассмотрим их поведение между и за точками пересечения.

На промежутке $(0; 1)$, возьмем для примера точку $x = 0,5$:
Для $y = x^3$: $y = (0,5)^3 = 0,125$.
Для $y = x^4$: $y = (0,5)^4 = 0,0625$.
Поскольку $0,125 > 0,0625$, на промежутке $(0; 1)$ график функции $y = x^3$ лежит выше графика $y = x^4$, то есть $x^3 > x^4$.

На промежутке $(1; +\infty)$, возьмем для примера точку $x = 2$:
Для $y = x^3$: $y = 2^3 = 8$.
Для $y = x^4$: $y = 2^4 = 16$.
Поскольку $16 > 8$, на промежутке $(1; +\infty)$ график функции $y = x^4$ лежит выше графика $y = x^3$, то есть $x^4 > x^3$.

Ответ: На промежутке $(0; 1)$ значения функции $y=x^3$ больше значений функции $y=x^4$. На промежутке $(1; +\infty)$ значения функции $y=x^4$ больше значений функции $y=x^3$.

б)

Для функции $y = x^4$:
- Значения больше 0 ($y > 0$): так как четная степень любого действительного числа, кроме нуля, положительна, то $x^4 > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Значения меньше 0 ($y < 0$): неравенство $x^4 < 0$ не имеет решений в действительных числах.
- Значения больше 1 ($y > 1$): неравенство $x^4 > 1$ равносильно $|x| > 1$, что соответствует $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.
- Значения меньше 1 ($y < 1$): неравенство $x^4 < 1$ равносильно $|x| < 1$, что соответствует $x \in (-1; 1)$.

Для функции $y = x^3$:
- Значения больше 0 ($y > 0$): неравенство $x^3 > 0$ выполняется при $x > 0$, то есть $x \in (0; +\infty)$.
- Значения меньше 0 ($y < 0$): неравенство $x^3 < 0$ выполняется при $x < 0$, то есть $x \in (-\infty; 0)$.
- Значения больше 1 ($y > 1$): неравенство $x^3 > 1$ выполняется при $x > 1$, то есть $x \in (1; +\infty)$.
- Значения меньше 1 ($y < 1$): неравенство $x^3 < 1$ выполняется при $x < 1$, то есть $x \in (-\infty; 1)$.

Ответ: Для $y=x^4$: $y>0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; $y<0$ - нет решений; $y>1$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$; $y<1$ при $x \in (-1; 1)$.
Для $y=x^3$: $y>0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y>1$ при $x \in (1; +\infty)$; $y<1$ при $x \in (-\infty; 1)$.

в)

Вопрос заключается в том, существуют ли значения $x$, для которых выполняется неравенство $x^3 > x^4$.
$x^3 - x^4 > 0$
$x^3(1 - x) > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Нули левой части: $x=0$ и $x=1$.
Разобьем числовую ось на интервалы $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$ и определим знак выражения $x^3(1 - x)$ в каждом из них.
- Если $x<0$, то $x^3 < 0$ и $(1-x) > 0$, произведение отрицательно.
- Если $0 < x < 1$, то $x^3 > 0$ и $(1-x) > 0$, произведение положительно.
- Если $x > 1$, то $x^3 > 0$ и $(1-x) < 0$, произведение отрицательно.
Неравенство выполняется на интервале $(0; 1)$.

Ответ: Да, существуют. Это все значения $x$ из промежутка $(0; 1)$.

г)

Для определения промежутков возрастания и убывания функций можно использовать их производные.

Для функции $y = x^4$:
Производная $y' = (x^4)' = 4x^3$.
Функция возрастает, когда $y' > 0 \implies 4x^3 > 0 \implies x > 0$.
Функция убывает, когда $y' < 0 \implies 4x^3 < 0 \implies x < 0$.
В точке $x=0$ производная равна нулю, это точка минимума.
Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Для функции $y = x^3$:
Производная $y' = (x^3)' = 3x^2$.
Производная $y' = 3x^2 \ge 0$ для всех действительных $x$. Она равна нулю только в точке $x=0$, но не меняет свой знак при переходе через эту точку. Это означает, что функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения.
Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$ и не имеет промежутков убывания.

Ответ: Функция $y=x^4$ убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Функция $y=x^3$ возрастает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.