Номер 231, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

231. Сравните значения функций $y = x$ и $y = x^5$ при значениях аргумента:

а) $0 < x < 1$;

б) $x > 1$;

в) $-1 < x < 0$;

г) $x < -1$.

Для того чтобы сравнить значения функций $y=x$ и $y=x^5$, необходимо определить, какое из выражений больше на заданных промежутках. Это эквивалентно определению знака их разности: $x^5 - x$.

Разложим разность на множители: $x^5 - x = x(x^4 - 1) = x(x^2 - 1)(x^2 + 1) = x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$.

Выражение $(x^2 + 1)$ всегда положительно при любом действительном $x$. Таким образом, знак разности $x^5 - x$ зависит от знаков трех множителей: $x$, $(x - 1)$ и $(x + 1)$.

• Если $x^5 - x > 0$, то $x^5 > x$.
• Если $x^5 - x < 0$, то $x^5 < x$.
• Если $x^5 - x = 0$, то $x^5 = x$ (это происходит при $x = -1, x = 0, x = 1$).

Рассмотрим каждый случай отдельно, используя метод интервалов.

а) $0 < x < 1$
На этом интервале выберем пробное значение, например, $x=0.5$.
Определим знаки множителей:

• $x$ - положительный (+)
• $(x - 1)$ - отрицательный (-)
• $(x + 1)$ - положительный (+)

Знак всей разности $x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$ будет $(+) \cdot (-) \cdot (+) \cdot (+) = (-)$.
Так как разность $x^5 - x$ отрицательна, то $x^5 < x$.
Ответ: На промежутке $0 < x < 1$ значение функции $y=x^5$ меньше значения функции $y=x$, то есть $x^5 < x$.

б) $x > 1$
На этом интервале выберем пробное значение, например, $x=2$.
Определим знаки множителей:

• $x$ - положительный (+)
• $(x - 1)$ - положительный (+)
• $(x + 1)$ - положительный (+)

Знак всей разности $x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$ будет $(+) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (+) = (+)$.
Так как разность $x^5 - x$ положительна, то $x^5 > x$.
Ответ: На промежутке $x > 1$ значение функции $y=x^5$ больше значения функции $y=x$, то есть $x^5 > x$.

в) $-1 < x < 0$
На этом интервале выберем пробное значение, например, $x=-0.5$.
Определим знаки множителей:

• $x$ - отрицательный (-)
• $(x - 1)$ - отрицательный (-)
• $(x + 1)$ - положительный (+)

Знак всей разности $x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$ будет $(-) \cdot (-) \cdot (+) \cdot (+) = (+)$.
Так как разность $x^5 - x$ положительна, то $x^5 > x$.
Ответ: На промежутке $-1 < x < 0$ значение функции $y=x^5$ больше значения функции $y=x$, то есть $x^5 > x$.

г) $x < -1$
На этом интервале выберем пробное значение, например, $x=-2$.
Определим знаки множителей:

• $x$ - отрицательный (-)
• $(x - 1)$ - отрицательный (-)
• $(x + 1)$ - отрицательный (-)

Знак всей разности $x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$ будет $(-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (+) = (-)$.
Так как разность $x^5 - x$ отрицательна, то $x^5 < x$.
Ответ: На промежутке $x < -1$ значение функции $y=x^5$ меньше значения функции $y=x$, то есть $x^5 < x$.