Номер 226, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

226. Постройте график функции:

а) $y = x^{20}$;

б) $y = x^{100}$.

а)

Рассмотрим функцию $y = x^{20}$. Это степенная функция вида $y = x^n$, где показатель $n=20$ является четным натуральным числом.

Исследуем свойства этой функции, чтобы построить ее график:

• Область определения: Функция определена для любых значений $x$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Так как показатель степени $20$ — четное число, то $x^{20} \ge 0$ при любом $x$. Следовательно, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: Функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^{20} = x^{20} = y(x)$. Это означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Ключевые точки: Найдем несколько точек, принадлежащих графику:
  • При $x = 0$, $y = 0^{20} = 0$. График проходит через начало координат (0, 0).
  • При $x = 1$, $y = 1^{20} = 1$. График проходит через точку (1, 1).
  • При $x = -1$, $y = (-1)^{20} = 1$. График проходит через точку (-1, 1).
• Поведение функции:
  • На интервале $(-1, 1)$: если $|x| < 1$, то $x^{20}$ будет очень маленьким положительным числом. Например, при $x = 0.5$, $y = (0.5)^{20} = \frac{1}{2^{20}} \approx 0.000001$. Поэтому в этой области график функции очень близок к оси абсцисс (оси OX), образуя "плоское дно".
  • При $|x| > 1$: значение $x^{20}$ растет очень быстро. Например, при $x = 2$, $y = 2^{20} = 1048576$. Ветви графика устремляются вверх очень круто, гораздо круче, чем у параболы $y = x^2$.

Построение графика:
График функции $y = x^{20}$ имеет U-образную форму, похожую на параболу, но с более плоским основанием вблизи нуля и более крутыми ветвями. Он проходит через точки (-1, 1), (0, 0) и (1, 1) и симметричен относительно оси OY. В интервале от -1 до 1 график практически сливается с осью OX, а за пределами этого интервала резко уходит вверх.

Ответ: График функции $y = x^{20}$ — это кривая, симметричная относительно оси OY, проходящая через точки (-1, 1), (0, 0), (1, 1). В интервале $(-1, 1)$ график очень сильно прижат к оси OX, а при $|x| > 1$ очень круто уходит вверх.

б)

Рассмотрим функцию $y = x^{100}$. Это также степенная функция $y = x^n$ с четным показателем $n=100$.

Ее свойства аналогичны свойствам функции $y = x^{20}$, но выражены еще сильнее из-за большего показателя степени.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: Функция четная, так как $y(-x) = (-x)^{100} = x^{100} = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.
• Ключевые точки: График также проходит через точки (0, 0), (1, 1) и (-1, 1).
• Сравнение с $y = x^{20}$:
  • На интервале $(-1, 1)$: если $|x| < 1$, то $x^{100} < x^{20}$. Например, при $x=0.5$, значение $y = (0.5)^{100}$ еще намного ближе к нулю, чем $(0.5)^{20}$. Это означает, что "плоское дно" у графика $y = x^{100}$ еще шире и еще ближе к оси OX.
  • При $|x| > 1$: значение $x^{100} > x^{20}$. Рост функции происходит еще стремительнее. Ветви графика $y = x^{100}$ поднимаются еще круче, чем у $y = x^{20}$.

Построение графика:
График функции $y = x^{100}$ имеет ту же U-образную форму и проходит через те же три ключевые точки (-1, 1), (0, 0), (1, 1). Однако, по сравнению с графиком $y = x^{20}$, он еще сильнее прижат к оси OX на интервале $(-1, 1)$ и еще резче устремляется вверх при $|x| > 1$. Визуально он выглядит как прямоугольная "чаша" с очень плоским дном и почти вертикальными стенками.

Ответ: График функции $y = x^{100}$ — это кривая, симметричная относительно оси OY, проходящая через точки (-1, 1), (0, 0), (1, 1). По сравнению с графиком $y=x^{20}$, на интервале $(-1, 1)$ он еще ближе к оси OX, а при $|x| > 1$ растет еще быстрее, имея более крутые ветви.