Номер 222, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

222. Какова область значений функции:

а) $y = x^4$;

б) $y = x^3$?

а) Чтобы найти область значений функции $y = x^4$, нужно определить все возможные значения, которые может принимать переменная $y$.
Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, то есть $x$ может быть любым числом от $-\infty$ до $+\infty$.
Показатель степени в выражении $x^4$ равен 4, что является четным числом. При возведении любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) в четную степень, результат всегда будет неотрицательным числом ($y \ge 0$).

• Если $x=0$, то $y=0^4=0$. Это наименьшее значение функции.
• Если $x \neq 0$ (например, $x=2$ или $x=-2$), то $y$ будет положительным числом ($y=2^4=16$, $y=(-2)^4=16$).

Поскольку $x$ может быть сколь угодно большим по модулю, значение $y$ может быть сколь угодно большим положительным числом. Таким образом, область значений функции включает 0 и все положительные числа.
Ответ: $y \in [0; +\infty)$.

б) Чтобы найти область значений функции $y = x^3$, нужно определить все возможные значения, которые может принимать переменная $y$.
Областью определения этой функции также является множество всех действительных чисел.
Показатель степени в выражении $x^3$ равен 3, что является нечетным числом. При возведении действительного числа в нечетную степень, знак результата совпадает со знаком исходного числа.

• Если $x > 0$, то $y = x^3 > 0$ (например, при $x=2$, $y=8$).
• Если $x < 0$, то $y = x^3 < 0$ (например, при $x=-2$, $y=-8$).
• Если $x = 0$, то $y = 0^3 = 0$.

Поскольку $x$ может принимать любое значение на всей числовой оси, от $-\infty$ до $+\infty$, то и $y$ также может принимать любое значение от $-\infty$ до $+\infty$.
Ответ: множество всех действительных чисел, то есть $y \in (-\infty; +\infty)$.