Номер 225, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

225. Учитывая чётность (нечётность) функции, постройте её график (для построения графика достаточно определить четверти, в которых он расположен, и примерное его расположение с помощью нескольких точек):

а) $y = x^6$;

б) $y = x^7$;

в) $y = x^8$;

г) $y = x^9$;

д) $y = x^{10}$;

е) $y = x^4$.

Для решения этой задачи воспользуемся общим свойством степенной функции $y=x^n$:

• Если показатель степени n - чётное число, то функция является чётной. Это означает, что $y(-x) = (-x)^n = x^n = y(x)$. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Поскольку $x^n \ge 0$ при чётном n, график расположен в I и II координатных четвертях.
• Если показатель степени n - нечётное число, то функция является нечётной. Это означает, что $y(-x) = (-x)^n = -x^n = -y(x)$. График такой функции симметричен относительно начала координат. При $x>0$ будет $y>0$ (I четверть), а при $x<0$ будет $y<0$ (III четверть).

а) $y = x^6$

1. Чётность. Показатель степени $n=6$ является чётным числом. Следовательно, функция является чётной, так как $y(-x) = (-x)^6 = x^6 = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

2. Четверти. Поскольку любое действительное число в чётной степени неотрицательно, $y = x^6 \ge 0$ для всех значений $x$. Это означает, что график функции расположен в I и II координатных четвертях.

3. Контрольные точки. Для построения эскиза графика найдём несколько точек. В силу симметрии достаточно рассмотреть $x \ge 0$.
- При $x = 0$, $y = 0^6 = 0$. Точка (0; 0) - начало координат.
- При $x = 1$, $y = 1^6 = 1$. Точка (1; 1).
- При $x = -1$, в силу чётности, $y = (-1)^6 = 1$. Точка (-1; 1).
График проходит через начало координат, имеет U-образную форму, похожую на параболу $y=x^2$, но в интервале $(-1, 1)$ он более плоский (ближе прижат к оси Ox), а при $|x| > 1$ растёт гораздо быстрее.

Ответ: Функция чётная, график симметричен относительно оси Oy и расположен в I и II четвертях. Проходит через точки (-1; 1), (0; 0), (1; 1).

б) $y = x^7$

1. Нечётность. Показатель степени $n=7$ является нечётным числом. Следовательно, функция является нечётной, так как $y(-x) = (-x)^7 = -x^7 = -y(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

2. Четверти. Если $x > 0$, то $y = x^7 > 0$, значит, часть графика находится в I координатной четверти. Если $x < 0$, то $y = x^7 < 0$, значит, другая часть графика находится в III координатной четверти.

3. Контрольные точки. Найдём несколько точек для $x \ge 0$.
- При $x = 0$, $y = 0^7 = 0$. Точка (0; 0) - центр симметрии.
- При $x = 1$, $y = 1^7 = 1$. Точка (1; 1).
- В силу нечётности, для $x = -1$ имеем $y = -1$. Точка (-1; -1).
График проходит через начало координат, имеет S-образную форму, похожую на кубическую параболу $y=x^3$, но в интервале $(-1, 1)$ он более плоский, а при $|x| > 1$ растёт быстрее.

Ответ: Функция нечётная, график симметричен относительно начала координат и расположен в I и III четвертях. Проходит через точки (-1; -1), (0; 0), (1; 1).

в) $y = x^8$

1. Чётность. Показатель степени $n=8$ — чётное число. Функция чётная ($y(-x) = (-x)^8 = x^8 = y(x)$). Её график симметричен относительно оси Oy.

2. Четверти. Так как $x^8 \ge 0$ для любого $x$, график функции целиком лежит в верхней полуплоскости, то есть в I и II четвертях.

3. Контрольные точки.
- При $x = 0$, $y = 0^8 = 0$. Точка (0; 0).
- При $x = 1$, $y = 1^8 = 1$. Точка (1; 1).
- При $x = -1$, $y = (-1)^8 = 1$. Точка (-1; 1).
График функции — кривая, проходящая через начало координат, симметричная относительно оси Oy. По сравнению с графиком $y=x^6$, этот график ещё более плоский вблизи нуля и ещё более круто уходит вверх при $|x|>1$.

Ответ: Функция чётная, график симметричен относительно оси Oy и расположен в I и II четвертях. Проходит через точки (-1; 1), (0; 0), (1; 1).

г) $y = x^9$

1. Нечётность. Показатель степени $n=9$ — нечётное число. Функция нечётная ($y(-x) = (-x)^9 = -x^9 = -y(x)$). Её график симметричен относительно начала координат.

2. Четверти. При $x > 0$ имеем $y > 0$ (I четверть). При $x < 0$ имеем $y < 0$ (III четверть).

3. Контрольные точки.
- При $x = 0$, $y = 0^9 = 0$. Точка (0; 0).
- При $x = 1$, $y = 1^9 = 1$. Точка (1; 1).
- При $x = -1$, $y = (-1)^9 = -1$. Точка (-1; -1).
График проходит через начало координат. По сравнению с графиком $y=x^7$, этот график ещё более плоский вблизи нуля и ещё более круто уходит вверх/вниз при $|x|>1$.

Ответ: Функция нечётная, график симметричен относительно начала координат и расположен в I и III четвертях. Проходит через точки (-1; -1), (0; 0), (1; 1).

д) $y = x^{10}$

1. Чётность. Показатель степени $n=10$ — чётное число. Функция чётная ($y(-x) = (-x)^{10} = x^{10} = y(x)$). Её график симметричен относительно оси Oy.

2. Четверти. Так как $x^{10} \ge 0$ для любого $x$, график функции расположен в I и II четвертях.

3. Контрольные точки.
- При $x = 0$, $y = 0^{10} = 0$. Точка (0; 0).
- При $x = 1$, $y = 1^{10} = 1$. Точка (1; 1).
- При $x = -1$, $y = (-1)^{10} = 1$. Точка (-1; 1).
График функции — U-образная кривая, проходящая через начало координат. График очень плоский вблизи нуля и очень круто уходит вверх при $|x|>1$.

Ответ: Функция чётная, график симметричен относительно оси Oy и расположен в I и II четвертях. Проходит через точки (-1; 1), (0; 0), (1; 1).

е) $y = x^4$

1. Чётность. Показатель степени $n=4$ — чётное число. Функция чётная ($y(-x) = (-x)^4 = x^4 = y(x)$). Её график симметричен относительно оси Oy.

2. Четверти. Так как $x^4 \ge 0$ для любого $x$, график функции расположен в I и II четвертях.

3. Контрольные точки.
- При $x = 0$, $y = 0^4 = 0$. Точка (0; 0).
- При $x = 1$, $y = 1^4 = 1$. Точка (1; 1).
- При $x = -1$, $y = (-1)^4 = 1$. Точка (-1; 1).
График функции — кривая, похожая на параболу $y=x^2$, проходящая через начало координат и точки (1;1) и (-1;1). Она более плоская около нуля и растёт быстрее, чем $y=x^2$, при $|x|>1$.

Ответ: Функция чётная, график симметричен относительно оси Oy и расположен в I и II четвертях. Проходит через точки (-1; 1), (0; 0), (1; 1).