Номер 230, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

230. В одной системе координат с единичными отрезками 10 см на интервале (-1; 1) постройте графики функций $y = x$, $y = x^2$, $y = x^3$, $y = x^4$.

Для построения графиков функций на интервале $(-1; 1)$ в одной системе координат с единичным отрезком 10 см, проанализируем каждую функцию, определим ее ключевые точки и особенности поведения.

Это линейная функция, ее график — прямая линия. Является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. Ключевые точки на заданном интервале: $(-1; -1)$, $(0; 0)$ и $(1; 1)$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх. Функция является четной, то есть $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$, поэтому ее график симметричен относительно оси ординат (OY). Ключевые точки: $(-1; 1)$, $(0; 0)$ и $(1; 1)$.

Это кубическая функция, ее график — кубическая парабола. Функция является нечетной, то есть $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. Ключевые точки: $(-1; -1)$, $(0; 0)$ и $(1; 1)$.

Это степенная функция. Ее график похож на параболу $y=x^2$, но вблизи нуля ($x \approx 0$) он более "плоский" и ближе прижат к оси абсцисс, а при приближении $x$ к 1 и -1 растет быстрее. Функция является четной, $f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x)$, и ее график симметричен относительно оси OY. Ключевые точки: $(-1; 1)$, $(0; 0)$ и $(1; 1)$.

Для более точного построения и сравнения функций составим таблицу их значений:

На основе анализа и таблицы значений построим графики в одной системе координат. Важно отметить взаимное расположение кривых:

• На интервале $(0; 1)$ чем больше показатель степени $n$, тем ниже расположен график функции $y=x^n$. Таким образом, $x > x^2 > x^3 > x^4$.
• На интервале $(-1; 0)$ нечетные функции отрицательны ($x < x^3$), а четные — положительны ($x^4 < x^2$). Общее соотношение: $x < x^3 < x^4 < x^2$.

Все четыре графика пересекаются в точках $(0;0)$ и $(1;1)$.

Ответ:

Графики функций $y = x$, $y = x^2$, $y = x^3$ и $y = x^4$ построены на интервале $(-1; 1)$ в одной системе координат, как показано на рисунке выше. Все графики проходят через точки $(0;0)$ и $(1;1)$. Их взаимное расположение зависит от знака $x$: на интервале $(0;1)$ выполняется $x > x^2 > x^3 > x^4$, а на интервале $(-1;0)$ справедливо $x < x^3 < x^4 < x^2$. Графики $y=x^2$ и $y=x^4$ симметричны относительно оси OY, а графики $y=x$ и $y=x^3$ — относительно начала координат.