Номер 237, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

237. а) Сколько существует корней четвёртой степени из числа 1; 81; 0?

б) Сколько существует корней пятой степени из числа 0; 1; -1?

а) Корень n-ой степени из числа a — это такое число x, для которого выполняется равенство $x^n = a$. Количество действительных (вещественных) корней зависит от чётности показателя корня n и знака подкоренного числа a.

В данном пункте ищется корень четвёртой степени, то есть показатель $n = 4$ является чётным числом.

Для корня чётной степени из числа a действуют следующие правила:

• Если $a > 0$, существует два действительных корня: $\sqrt[n]{a}$ и $-\sqrt[n]{a}$.
• Если $a = 0$, существует один действительный корень: $0$.
• Если $a < 0$, действительных корней не существует.

Применим эти правила к заданным числам:

- Для числа 1: так как $1 > 0$, уравнение $x^4 = 1$ имеет два действительных корня. Это числа $1$ и $-1$.

- Для числа 81: так как $81 > 0$, уравнение $x^4 = 81$ имеет два действительных корня. Это числа $3$ и $-3$, поскольку $3^4 = 81$ и $(-3)^4 = 81$.

- Для числа 0: так как $a = 0$, уравнение $x^4 = 0$ имеет один действительный корень. Это число $0$.

Ответ: из числа 1 существует два корня; из числа 81 — два корня; из числа 0 — один корень.

б) В данном пункте ищется корень пятой степени, то есть показатель $n = 5$ является нечётным числом.

Для корня нечётной степени из любого действительного числа a (положительного, отрицательного или нуля) всегда существует ровно один действительный корень.

Применим это правило к заданным числам:

- Для числа 0: уравнение $x^5 = 0$ имеет один действительный корень: $x = \sqrt[5]{0} = 0$.

- Для числа 1: уравнение $x^5 = 1$ имеет один действительный корень: $x = \sqrt[5]{1} = 1$.

- Для числа -1: уравнение $x^5 = -1$ имеет один действительный корень: $x = \sqrt[5]{-1} = -1$.

Ответ: из числа 0 существует один корень; из числа 1 — один корень; из числа -1 — один корень.