Страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

236. Что называют корнем:

а) квадратным;

б) кубическим;

в) пятой степени;

г) степени $n$ ($n \geq 2$, $n \in N$) из числа $b$?

а) квадратным

Квадратным корнем из числа $b$ называют такое число $a$, вторая степень (квадрат) которого равна числу $b$. Это означает, что если число $a$ умножить само на себя, получится $b$. Математически это записывается уравнением $a^2 = b$.

Например, для числа $b=16$ квадратными корнями являются числа $a=4$ и $a=-4$, так как $4^2 = 16$ и $(-4)^2 = 16$.

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $b$ называют его неотрицательный корень. Он обозначается знаком $\sqrt{\phantom{b}}$, например, $\sqrt{16} = 4$.

Ответ: Число $a$, квадрат которого равен $b$.

б) кубическим

Кубическим корнем из числа $b$ называют такое число $a$, третья степень (куб) которого равна числу $b$. Математически это выражается формулой $a^3 = b$.

В отличие от квадратного корня, кубический корень из любого действительного числа $b$ всегда существует и является единственным. Он обозначается как $\sqrt[3]{b}$.

Например, кубический корень из $b=8$ равен $a=2$, так как $2^3 = 8$. Кубический корень из $b=-27$ равен $a=-3$, так как $(-3)^3 = -27$.

Ответ: Число $a$, куб которого равен $b$.

в) пятой степени

Корнем пятой степени из числа $b$ называют такое число $a$, пятая степень которого равна числу $b$. Математически это записывается как $a^5 = b$.

Как и любой корень нечетной степени, корень пятой степени из действительного числа $b$ всегда существует и единственен. Обозначается он как $\sqrt[5]{b}$.

Например, корень пятой степени из $b=32$ равен $a=2$, потому что $2^5 = 32$. Корень пятой степени из $b=-243$ равен $a=-3$, так как $(-3)^5 = -243$.

Ответ: Число $a$, пятая степень которого равна $b$.

г) степени $n$ ($n \ge 2, n \in N$) из числа $b$

Корнем $n$-й степени из числа $b$ (где $n$ — натуральное число, не меньшее 2) называют такое число $a$, что его $n$-я степень равна $b$. Это можно записать в виде уравнения: $a^n = b$.

Свойства корня $n$-й степени зависят от четности или нечетности показателя $n$.

1. Если $n$ — нечетное число ($3, 5, 7, \dots$), то для любого действительного числа $b$ существует единственный действительный корень $n$-й степени, обозначаемый как $\sqrt[n]{b}$. Знак этого корня совпадает со знаком числа $b$.

2. Если $n$ — четное число ($2, 4, 6, \dots$), то:
- если $b > 0$, существует два действительных корня $n$-й степени: один положительный и один отрицательный. Положительный корень называется арифметическим корнем и обозначается $\sqrt[n]{b}$, а отрицательный равен ему по модулю: $-\sqrt[n]{b}$. Например, $\sqrt[4]{81} = 3$, а второй корень равен $-3$.
- если $b = 0$, то существует единственный корень, равный нулю: $\sqrt[n]{0} = 0$.
- если $b < 0$, то действительных корней $n$-й степени не существует, так как любое действительное число в четной степени неотрицательно.

Ответ: Число $a$, $n$-я степень которого равна $b$.

237. а) Сколько существует корней четвёртой степени из числа 1; 81; 0?

б) Сколько существует корней пятой степени из числа 0; 1; -1?

а) Корень n-ой степени из числа a — это такое число x, для которого выполняется равенство $x^n = a$. Количество действительных (вещественных) корней зависит от чётности показателя корня n и знака подкоренного числа a.

В данном пункте ищется корень четвёртой степени, то есть показатель $n = 4$ является чётным числом.

Для корня чётной степени из числа a действуют следующие правила:

• Если $a > 0$, существует два действительных корня: $\sqrt[n]{a}$ и $-\sqrt[n]{a}$.
• Если $a = 0$, существует один действительный корень: $0$.
• Если $a < 0$, действительных корней не существует.

Применим эти правила к заданным числам:

- Для числа 1: так как $1 > 0$, уравнение $x^4 = 1$ имеет два действительных корня. Это числа $1$ и $-1$.

- Для числа 81: так как $81 > 0$, уравнение $x^4 = 81$ имеет два действительных корня. Это числа $3$ и $-3$, поскольку $3^4 = 81$ и $(-3)^4 = 81$.

- Для числа 0: так как $a = 0$, уравнение $x^4 = 0$ имеет один действительный корень. Это число $0$.

Ответ: из числа 1 существует два корня; из числа 81 — два корня; из числа 0 — один корень.

б) В данном пункте ищется корень пятой степени, то есть показатель $n = 5$ является нечётным числом.

Для корня нечётной степени из любого действительного числа a (положительного, отрицательного или нуля) всегда существует ровно один действительный корень.

Применим это правило к заданным числам:

- Для числа 0: уравнение $x^5 = 0$ имеет один действительный корень: $x = \sqrt[5]{0} = 0$.

- Для числа 1: уравнение $x^5 = 1$ имеет один действительный корень: $x = \sqrt[5]{1} = 1$.

- Для числа -1: уравнение $x^5 = -1$ имеет один действительный корень: $x = \sqrt[5]{-1} = -1$.

Ответ: из числа 0 существует один корень; из числа 1 — один корень; из числа -1 — один корень.

238. Выпишите все натуральные числа, кубы которых не превышают 10 000.

Требуется найти все натуральные числа $n$, для которых выполняется неравенство:

$n^3 \le 10000$

Это равносильно нахождению всех натуральных чисел $n$, удовлетворяющих условию $n \le \sqrt[3]{10000}$.

Для того чтобы найти границу, будем подбирать значения $n$, возводя их в куб.
Начнем с "круглых" чисел, чтобы оценить порядок величины:
$10^3 = 1000$ (это меньше 10 000)
$20^3 = 8000$ (это меньше 10 000)
$30^3 = 27000$ (это больше 10 000)
Значит, искомое число находится между 20 и 30. Проверим числа, начиная с 21.

Вычислим куб для $n=21$:
$21^3 = 21 \cdot 21 \cdot 21 = 441 \cdot 21 = 9261$
Так как $9261 \le 10000$, число 21 удовлетворяет условию.

Вычислим куб для $n=22$:
$22^3 = 22 \cdot 22 \cdot 22 = 484 \cdot 22 = 10648$
Так как $10648 > 10000$, число 22 и все последующие натуральные числа не удовлетворяют условию.

Следовательно, наибольшее натуральное число, куб которого не превышает 10 000, — это 21. В искомый список входят все натуральные числа от 1 до 21 включительно.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21.

239. Выпишите все целые числа, четвёртые степени которых не превышают 10 000.

Пусть искомое целое число — это $x$. По условию задачи, его четвёртая степень не должна превышать 10 000. Это можно записать в виде неравенства:

$x^4 \le 10000$

Чтобы решить это неравенство, извлечём корень четвёртой степени из обеих частей. Заметим, что $10000 = 100^2 = (10^2)^2 = 10^4$.

$x^4 \le 10^4$

Поскольку степень чётная, при извлечении корня из левой части неравенства получаем модуль числа $x$:

$\sqrt[4]{x^4} \le \sqrt[4]{10^4}$

$|x| \le 10$

Данное неравенство с модулем равносильно двойному неравенству:

$-10 \le x \le 10$

Так как $x$ по условию является целым числом, нам необходимо перечислить все целые числа, которые принадлежат отрезку $[-10; 10]$.

Эти числа: -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Ответ: -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

240. Сколько существует натуральных чисел, шестая степень которых не превышает 1 000 000?

Пусть $n$ — искомое натуральное число. По условию задачи, шестая степень этого числа не должна превышать 1 000 000. Это можно записать в виде неравенства:

$n^6 \le 1 000 000$

Чтобы найти все возможные значения $n$, решим это неравенство. Так как $n$ является натуральным числом, оно положительно, поэтому мы можем извлечь корень шестой степени из обеих частей неравенства, не меняя его знака:

$n \le \sqrt[6]{1 000 000}$

Представим число 1 000 000 в виде степени числа 10:

$1 000 000 = 10^6$

Теперь подставим это значение обратно в неравенство:

$n \le \sqrt[6]{10^6}$

Вычисление корня дает:

$n \le 10$

Поскольку мы ищем натуральные числа ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$), то нашему условию $n \le 10$ удовлетворяют все целые числа от 1 до 10 включительно: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$.

Подсчитав количество этих чисел, получаем, что их 10.

Ответ: 10