Страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

269. Вычислите корень:

а) $\sqrt[4]{10^4}$;

б) $\sqrt[4]{\frac{1}{10000}}$;

в) $\sqrt[6]{64}$;

г) $\sqrt[4]{81}$.

Докажите правильность решения.

а) Вычислим корень $\sqrt[4]{10^4}$.
Согласно определению арифметического корня n-ой степени, для любого неотрицательного числа $a$ и натурального числа $n > 1$ справедливо равенство $\sqrt[n]{a^n} = a$.
В данном случае $a=10$ и $n=4$.
Следовательно, $\sqrt[4]{10^4} = 10$.
Доказательство:
По определению корня, если $\sqrt[4]{10000} = 10$, то должно выполняться равенство $10^4 = 10000$. Проверим это:
$10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000$.
Подкоренное выражение равно $10^4 = 10000$.
Так как равенство $10^4=10000$ верно, решение правильное.
Ответ: $10$.

б) Вычислим корень $\sqrt[4]{\frac{1}{10000}}$.
Сначала представим подкоренное выражение в виде степени. Мы знаем, что $10000 = 10^4$.
Тогда $\frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = (\frac{1}{10})^4$.
Получаем выражение: $\sqrt[4]{(\frac{1}{10})^4}$.
Используя свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$ для $a \ge 0$, имеем:
$\sqrt[4]{(\frac{1}{10})^4} = \frac{1}{10}$.
Доказательство:
Для доказательства возведем результат $\frac{1}{10}$ в 4-ю степень и сравним с подкоренным выражением.
$(\frac{1}{10})^4 = \frac{1^4}{10^4} = \frac{1}{10000}$.
Полученное значение совпадает с подкоренным выражением, следовательно, решение правильное.
Ответ: $\frac{1}{10}$.

в) Вычислим корень $\sqrt[6]{64}$.
Для вычисления корня необходимо найти число, которое при возведении в 6-ю степень даст 64.
Представим число 64 в виде степени. Так как $64 = 2 \times 32 = 2 \times 2^5 = 2^6$.
Тогда выражение принимает вид: $\sqrt[6]{2^6}$.
По свойству корня $\sqrt[n]{a^n} = a$ для $a \ge 0$, получаем:
$\sqrt[6]{2^6} = 2$.
Доказательство:
Проверим, возведя полученный ответ 2 в 6-ю степень.
$2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$.
Результат совпадает с подкоренным выражением, значит, вычисление выполнено верно.
Ответ: $2$.

г) Вычислим корень $\sqrt[4]{81}$.
Нужно найти число, которое в 4-й степени равно 81.
Разложим 81 на множители: $81 = 9 \times 9 = (3 \times 3) \times (3 \times 3) = 3^4$.
Таким образом, выражение можно записать как $\sqrt[4]{3^4}$.
Используя свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$ для $a \ge 0$, находим:
$\sqrt[4]{3^4} = 3$.
Доказательство:
Для проверки правильности решения возведем ответ 3 в 4-ю степень.
$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 = 81$.
Результат совпадает с числом под знаком корня, следовательно, решение верное.
Ответ: $3$.

270. Верно ли равенство:

а) $\sqrt[4]{16} = -2$;

б) $\sqrt[6]{1} = 1$;

в) $\sqrt[4]{-16} = -2$;

г) $\sqrt[4]{16} = 2?$;

а) $\sqrt[4]{16} = -2$

Данное равенство неверно. По определению, арифметическим корнем четной степени ($n=4$) из положительного числа ($16$) является неотрицательное число. В правой части равенства стоит отрицательное число ($-2$). Хотя $(-2)^4 = 16$, по соглашению знак $\sqrt[n]{\cdot}$ (при четном $n$) обозначает именно арифметический (неотрицательный) корень. Правильное значение: $\sqrt[4]{16} = 2$.

Ответ: неверно.

б) $\sqrt[6]{1} = 1$

Данное равенство верно. По определению, корень 6-й степени из 1 — это такое неотрицательное число, которое при возведении в 6-ю степень дает 1. Проверим: $1$ — неотрицательное число, и $1^6 = 1$. Условия выполнены.

Ответ: верно.

в) $\sqrt[4]{-16} = -2$

Данное равенство неверно. Выражение в левой части не определено в области действительных чисел. Корень четной степени ($n=4$) из отрицательного числа ($-16$) не существует, так как любое действительное число, возведенное в четную степень, дает неотрицательный результат. Не существует такого действительного числа $x$, что $x^4 = -16$.

Ответ: неверно.

г) $\sqrt[4]{16} = 2$

Данное равенство верно. Необходимо проверить, является ли число 2 арифметическим корнем 4-й степени из 16. Для этого должны выполняться два условия:
1. Число 2 должно быть неотрицательным. Это так: $2 \ge 0$.
2. Четвертая степень числа 2 должна быть равна 16. Это так: $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.
Оба условия выполнены.

Ответ: верно.

271. Имеет ли смысл выражение:

а) $\sqrt[8]{35-6^2}$;

б) $\sqrt[6]{27-5^2}$;

в) $\sqrt{(-2)^3}$;

г) $\sqrt[4]{(-8)^6}$?

а) Чтобы определить, имеет ли смысл выражение $\sqrt[8]{35-6^2}$, нужно проверить знак подкоренного выражения. Арифметический корень четной степени (в данном случае степень корня равна 8) определен только для неотрицательных значений подкоренного выражения.

Вычислим значение выражения под корнем: $35 - 6^2 = 35 - 36 = -1$.

Поскольку подкоренное выражение отрицательно ($-1 < 0$), а степень корня четная (8), данное выражение не имеет смысла в области действительных чисел.

Ответ: не имеет смысла.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{27-5^2}$. Степень корня равна 6, что является четным числом. Следовательно, выражение имеет смысл только в том случае, если подкоренное выражение неотрицательно ($ \ge 0 $).

Вычислим значение подкоренного выражения: $27 - 5^2 = 27 - 25 = 2$.

Подкоренное выражение равно 2, что является положительным числом ($2 > 0$). Таким образом, корень четной степени из положительного числа определен.

Ответ: имеет смысл.

в) Рассмотрим выражение $\sqrt{(-2)^3}$. Если у знака корня не указан показатель, это означает квадратный корень, то есть корень 2-й степени. Степень корня 2 — четное число, поэтому выражение имеет смысл только для неотрицательных подкоренных выражений.

Вычислим значение подкоренного выражения: $(-2)^3 = -8$.

Подкоренное выражение равно -8, что является отрицательным числом ($-8 < 0$). В множестве действительных чисел корень четной степени из отрицательного числа не определен.

Ответ: не имеет смысла.

г) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{(-8)^6}$. Степень корня равна 4, это четное число. Следовательно, выражение имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно.

Определим знак подкоренного выражения: $(-8)^6$. Возведение любого отрицательного числа в четную степень (в данном случае в 6-ю) дает в результате положительное число.

Так как $(-8)^6 = 8^6 > 0$, подкоренное выражение положительно. Это означает, что извлечение корня четвертой степени из данного числа является определенной операцией.

Ответ: имеет смысл.

272. Проверьте, является ли число:

а) 5 корнем пятой степени из 3125;

б) -2 корнем восьмой степени из 256;

в) 1,1 корнем четвёртой степени из 1,4641;

г) $- \frac{2}{3}$ корнем шестой степени из $ \frac{64}{729}$.

а) Чтобы проверить, является ли число 5 корнем пятой степени из 3125, необходимо, по определению корня, возвести число 5 в пятую степень. Если результат будет равен 3125, то утверждение верно.

Выполним вычисление:

$5^5 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 25 \times 25 \times 5 = 625 \times 5 = 3125$

Результат совпал с заданным числом. Следовательно, 5 является корнем пятой степени из 3125.

Ответ: да, является.

б) Чтобы проверить, является ли число -2 корнем восьмой степени из 256, необходимо возвести число -2 в восьмую степень. Если результат будет равен 256, то утверждение верно.

Выполним вычисление. Так как степень 8 — чётное число, то при возведении отрицательного числа в эту степень результат будет положительным:

$(-2)^8 = 2^8 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \times 16 = 256$

Результат совпал с заданным числом. Следовательно, -2 является корнем восьмой степени из 256.

Ответ: да, является.

в) Чтобы проверить, является ли число 1,1 корнем четвёртой степени из 1,4641, необходимо возвести число 1,1 в четвёртую степень. Если результат будет равен 1,4641, то утверждение верно.

Выполним вычисление:

$(1,1)^2 = 1,21$

$(1,1)^4 = (1,1)^2 \times (1,1)^2 = 1,21 \times 1,21 = 1,4641$

Результат совпал с заданным числом. Следовательно, 1,1 является корнем четвёртой степени из 1,4641.

Ответ: да, является.

г) Чтобы проверить, является ли число $-\frac{2}{3}$ корнем шестой степени из $\frac{64}{729}$, необходимо возвести дробь $-\frac{2}{3}$ в шестую степень. Если результат будет равен $\frac{64}{729}$, то утверждение верно.

Выполним вычисление. Так как степень 6 — чётное число, знак минус исчезнет:

$(-\frac{2}{3})^6 = (\frac{2}{3})^6 = \frac{2^6}{3^6}$

Вычислим числитель и знаменатель по отдельности:

$2^6 = 64$

$3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 729$

Таким образом, $(-\frac{2}{3})^6 = \frac{64}{729}$.

Результат совпал с заданным числом. Следовательно, $-\frac{2}{3}$ является корнем шестой степени из $\frac{64}{729}$.

Ответ: да, является.

273. Покажите, используя график функции $y = x^4$, что существуют следующие корни, и укажите их значения с точностью до единиц:

а) $\sqrt[4]{3}$;

б) $-\sqrt[4]{3}$;

в) $\sqrt[4]{2}$;

г) $-\sqrt[4]{2}$;

д) $\sqrt[4]{0}$;

е) $\sqrt[4]{0,5}$;

ж) $-\sqrt[4]{0,5}$.

Для решения задачи воспользуемся графиком функции $y = x^4$. Корень n-ой степени $\sqrt[n]{a}$ по определению является решением уравнения $x^n = a$. В нашем случае, корень вида $\sqrt[4]{a}$ является решением уравнения $x^4 = a$.

Графически, решениями этого уравнения являются абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графика функции $y = x^4$ с горизонтальной прямой $y = a$.

Доказательство существования корней:

График функции $y = x^4$ представляет собой параболу, симметричную относительно оси OY, с вершиной в точке (0, 0). Все значения функции неотрицательны, то есть область значений функции — это $y \in [0, +\infty)$.

Уравнение $x^4 = a$ имеет действительные корни тогда и только тогда, когда прямая $y=a$ пересекает график $y=x^4$. Это возможно только при $a \ge 0$.

• Если $a > 0$, прямая $y=a$ пересекает график в двух точках, абсциссы которых равны $\sqrt[4]{a}$ и $-\sqrt[4]{a}$.
• Если $a = 0$, прямая $y=a$ касается графика в одной точке (0, 0), и корень один: $x=0$.

В данной задаче все подкоренные выражения (3; 2; 0; 0,5) неотрицательны. Следовательно, все указанные корни существуют.

Нахождение значений с точностью до единиц:

Чтобы найти значение корня с точностью до целого числа, определим, между какими целыми числами находится корень, а затем выясним, к какому из них он ближе. Для этого рассмотрим значения функции $y = x^4$ при целых значениях $x$:

• $0^4 = 0$
• $1^4 = 1$
• $2^4 = 16$
• $(-1)^4 = 1$
• $(-2)^4 = 16$

а) $\sqrt[4]{3}$
Мы ищем положительное решение уравнения $x^4 = 3$. Из таблицы значений видно, что $1^4 = 1$ и $2^4 = 16$. Так как $1 < 3 < 16$, то $\sqrt[4]{1} < \sqrt[4]{3} < \sqrt[4]{16}$, что означает $1 < \sqrt[4]{3} < 2$. Чтобы определить, к 1 или 2 ближе значение корня, сравним его с серединой отрезка [1, 2], то есть с 1,5. Возведем 1,5 в четвертую степень: $(1.5)^4 = 5.0625$. Поскольку $3 < 5.0625$, то $\sqrt[4]{3} < 1.5$. Следовательно, корень находится в интервале $(1; 1.5)$ и ближе к 1.
Ответ: 1

б) $-\sqrt[4]{3}$
Это отрицательное решение уравнения $x^4=3$. Из пункта а) известно, что $1 < \sqrt[4]{3} < 1.5$. Умножив неравенство на -1, получим $-1.5 < -\sqrt[4]{3} < -1$. Это означает, что корень находится между -1,5 и -1, то есть ближе к -1.
Ответ: -1

в) $\sqrt[4]{2}$
Ищем положительное решение уравнения $x^4 = 2$. Так как $1^4 = 1$ и $2^4 = 16$, то $1 < 2 < 16$, следовательно, $1 < \sqrt[4]{2} < 2$. Сравним с 1,5: $(1.5)^4 = 5.0625$. Поскольку $2 < 5.0625$, то $\sqrt[4]{2} < 1.5$. Корень находится в интервале $(1; 1.5)$ и ближе к 1.
Ответ: 1

г) $-\sqrt[4]{2}$
Это отрицательное решение уравнения $x^4=2$. Из пункта в) известно, что $1 < \sqrt[4]{2} < 1.5$. Значит, $-1.5 < -\sqrt[4]{2} < -1$. Корень ближе к -1.
Ответ: -1

д) $\sqrt[4]{0}$
Ищем решение уравнения $x^4 = 0$. Единственное решение — $x=0$. Это точное значение.
Ответ: 0

е) $\sqrt[4]{0.5}$
Ищем положительное решение уравнения $x^4 = 0.5$. Так как $0^4 = 0$ и $1^4 = 1$, то $0 < 0.5 < 1$, следовательно, $0 < \sqrt[4]{0.5} < 1$. Сравним с серединой отрезка [0, 1], то есть с 0,5. Возведем 0,5 в четвертую степень: $(0.5)^4 = 0.0625$. Поскольку $0.5 > 0.0625$, то $\sqrt[4]{0.5} > 0.5$. Корень находится в интервале $(0.5; 1)$ и ближе к 1.
Ответ: 1

ж) $-\sqrt[4]{0.5}$
Это отрицательное решение уравнения $x^4=0.5$. Из пункта е) известно, что $0.5 < \sqrt[4]{0.5} < 1$. Умножив на -1, получим $-1 < -\sqrt[4]{0.5} < -0.5$. Корень находится между -1 и -0,5, то есть ближе к -1.
Ответ: -1

274. Вычислите:

а) $\sqrt[4]{16}$;

б) $\sqrt[4]{10000}$;

в) $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$;

г) $\sqrt[4]{\frac{1}{625}}$.

а) Вычислим корень четвертой степени из 16. По определению арифметического корня, нам нужно найти такое неотрицательное число, которое при возведении в 4-ю степень даст 16. Заметим, что число 16 можно представить как степень числа 2:

$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$

Следовательно, искомое значение равно:

$\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$

Ответ: 2

б) Вычислим корень четвертой степени из 10000. Необходимо найти неотрицательное число, 4-я степень которого равна 10000. Представим 10000 как степень числа 10:

$10000 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4$

Следовательно, искомое значение равно:

$\sqrt[4]{10000} = \sqrt[4]{10^4} = 10$

Ответ: 10

в) Для вычисления корня из дроби воспользуемся свойством $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:

$\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}}$

Корень четвертой степени из 1 равен 1. Для знаменателя найдем корень четвертой степени из 81. Для этого представим число 81 как степень числа 3:

$81 = 9 \cdot 9 = 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$

Значит, $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.

Подставляем полученные значения в дробь:

$\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

г) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство корня из дроби:

$\sqrt[4]{\frac{1}{625}} = \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{625}}$

Корень четвертой степени из 1 равен 1. Для знаменателя найдем корень четвертой степени из 625. Представим число 625 как степень числа 5:

$625 = 25 \cdot 25 = 5^2 \cdot 5^2 = 5^4$

Значит, $\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$.

Подставляем полученные значения в дробь:

$\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{625}} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

275. Вычислите:

а) $5 + \sqrt[4]{1}$;

б) $\sqrt[6]{64} + 3$;

в) $\sqrt[4]{16} - 1$;

г) $8 - \sqrt[6]{8^2}$;

д) $\sqrt[3]{27} - \sqrt[4]{81}$;

е) $\sqrt[6]{4^3} + \sqrt[3]{-125}$;

ж) $\sqrt[4]{16^2}$;

з) $\sqrt[4]{25^2}$;

и) $\sqrt[6]{2 \cdot 32}$;

к) $\sqrt[6]{16 \cdot 256}$.

а) $5 + \sqrt[4]{1}$. Арифметический корень любой натуральной степени из единицы равен единице. Таким образом, $\sqrt[4]{1} = 1$. Выполняем сложение: $5 + 1 = 6$.
Ответ: 6

б) $\sqrt[6]{64} + 3$. Найдем корень шестой степени из 64. Поскольку $2^6 = 64$, то $\sqrt[6]{64} = 2$. Далее выполняем сложение: $2 + 3 = 5$.
Ответ: 5

в) $\sqrt[4]{16} - 1$. Вычислим корень четвертой степени из 16. Поскольку $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$. Далее выполняем вычитание: $2 - 1 = 1$.
Ответ: 1

г) $8 - \sqrt[6]{8^2}$. Упростим выражение, используя свойство корня $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, которое позволяет сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель. В данном случае общий делитель равен 2. $\sqrt[6]{8^2} = \sqrt[3 \cdot 2]{8^{1 \cdot 2}} = \sqrt[3]{8}$. Поскольку $2^3=8$, то $\sqrt[3]{8}=2$. Следовательно, $8 - 2 = 6$.
Ответ: 6

д) $\sqrt[3]{27} - \sqrt[4]{81}$. Вычислим каждый корень по отдельности. $\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$. $\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 81$. Далее выполняем вычитание: $3 - 3 = 0$.
Ответ: 0

е) $\sqrt[6]{4^3} + \sqrt[3]{-125}$. Упростим первый член, сократив показатель корня и степень подкоренного выражения на 3: $\sqrt[6]{4^3} = \sqrt{4} = 2$. Вычислим второй член: корень нечетной степени из отрицательного числа является отрицательным числом, $\sqrt[3]{-125} = -5$, так как $(-5)^3 = -125$. Выполним сложение: $2 + (-5) = 2 - 5 = -3$.
Ответ: -3

ж) $\sqrt[4]{16^2}$. Упростим выражение, используя свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$. Сократим показатель корня и степень на 2: $\sqrt[4]{16^2} = \sqrt[2 \cdot 2]{16^2} = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: 4

з) $\sqrt[4]{25^2}$. Упростим выражение, используя свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$. Сократим показатель корня и степень на 2: $\sqrt[4]{25^2} = \sqrt[2 \cdot 2]{25^2} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5

и) $\sqrt[6]{2 \cdot 32}$. Сначала выполним умножение под знаком корня: $2 \cdot 32 = 64$. Получаем выражение $\sqrt[6]{64}$. Поскольку $2^6 = 64$, то $\sqrt[6]{64} = 2$.
Ответ: 2

к) $\sqrt[6]{16 \cdot 256}$. Для упрощения вычисления представим числа под корнем в виде степеней одного основания, например, 2. $16 = 2^4$ и $256 = 2^8$. Тогда выражение под корнем равно $16 \cdot 256 = 2^4 \cdot 2^8 = 2^{4+8} = 2^{12}$. Теперь извлечем корень, используя свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$: $\sqrt[6]{2^{12}} = 2^{12/6} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

276. Решите уравнение, используя график функции:

а) $x^4 = 1;$

б) $x^4 = -1;$

в) $x^6 = 0;$

г) $x^4 = 81;$

д) $x^4 = 4;$

е) $x^4 = 25;$

ж) $x^6 = 1;$

з) $x^6 = 8.$

Для решения уравнений вида $x^n = c$ графическим методом необходимо построить графики двух функций: $y = x^n$ и $y = c$. Решениями исходного уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

Во всех представленных уравнениях показатель степени $n$ является четным числом (4 или 6). График функции $y=x^n$ для четного $n$ представляет собой кривую, симметричную относительно оси ординат (оси OY) и проходящую через начало координат. Все значения такой функции неотрицательны, то есть $x^n \ge 0$ при любом $x$. График функции $y=c$ — это горизонтальная прямая.

а) $x^4 = 1$

Рассмотрим графики функций $y = x^4$ и $y = 1$. График $y = x^4$ — это кривая, симметричная относительно оси OY. График $y = 1$ — это горизонтальная прямая, проходящая на 1 единицу выше оси OX. Эти графики пересекаются в двух точках, так как $1 > 0$. Чтобы найти абсциссы этих точек, подставим известные значения: $1^4 = 1$ и $(-1)^4 = 1$. Следовательно, точки пересечения имеют абсциссы $x=1$ и $x=-1$.

Ответ: $x = \pm 1$.

б) $x^4 = -1$

Рассмотрим графики функций $y = x^4$ и $y = -1$. Область значений функции $y = x^4$ — это $[0, +\infty)$, то есть ее график лежит полностью в верхней полуплоскости и на оси OX. График $y = -1$ — это горизонтальная прямая, лежащая в нижней полуплоскости. Поскольку графики не имеют общих точек, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: корней нет.

в) $x^6 = 0$

Рассмотрим графики функций $y = x^6$ и $y = 0$. График $y = 0$ — это ось абсцисс (ось OX). График функции $y = x^6$ касается оси OX в одной точке — начале координат $(0, 0)$. Абсцисса этой точки и является решением.

Ответ: $x = 0$.

г) $x^4 = 81$

Рассмотрим графики функций $y = x^4$ и $y = 81$. Горизонтальная прямая $y = 81$ пересекает кривую $y = x^4$ в двух точках, симметричных относительно оси OY. Абсциссы этих точек являются решениями уравнения. Найдем число, четвертая степень которого равна 81: $3^4 = 81$. В силу симметрии графика, $(-3)^4 = 81$ также является верным равенством.

Ответ: $x = \pm 3$.

д) $x^4 = 4$

Рассмотрим графики функций $y = x^4$ и $y = 4$. Горизонтальная прямая $y = 4$ пересекает кривую $y = x^4$ в двух симметричных точках. Абсциссы этих точек равны $\sqrt[4]{4}$ и $-\sqrt[4]{4}$. Упростим значение корня: $\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = 2^{2/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $x = \pm \sqrt{2}$.

е) $x^4 = 25$

Рассмотрим графики функций $y = x^4$ и $y = 25$. Горизонтальная прямая $y = 25$ пересекает кривую $y = x^4$ в двух симметричных точках. Абсциссы этих точек равны $\sqrt[4]{25}$ и $-\sqrt[4]{25}$. Упростим значение корня: $\sqrt[4]{25} = \sqrt[4]{5^2} = 5^{2/4} = 5^{1/2} = \sqrt{5}$.

Ответ: $x = \pm \sqrt{5}$.

ж) $x^6 = 1$

Рассмотрим графики функций $y = x^6$ и $y = 1$. График $y = x^6$ симметричен относительно оси OY. Прямая $y = 1$ пересекает его в двух точках. Так как $1^6 = 1$ и $(-1)^6 = 1$, абсциссы точек пересечения равны $1$ и $-1$.

Ответ: $x = \pm 1$.

з) $x^6 = 8$

Рассмотрим графики функций $y = x^6$ и $y = 8$. Горизонтальная прямая $y = 8$ пересекает кривую $y = x^6$ в двух симметричных точках. Абсциссы этих точек равны $\sqrt[6]{8}$ и $-\sqrt[6]{8}$. Упростим значение корня: $\sqrt[6]{8} = \sqrt[6]{2^3} = 2^{3/6} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $x = \pm \sqrt{2}$.