Номер 274, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

274. Вычислите:

а) $\sqrt[4]{16}$;

б) $\sqrt[4]{10000}$;

в) $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$;

г) $\sqrt[4]{\frac{1}{625}}$.

а) Вычислим корень четвертой степени из 16. По определению арифметического корня, нам нужно найти такое неотрицательное число, которое при возведении в 4-ю степень даст 16. Заметим, что число 16 можно представить как степень числа 2:

$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$

Следовательно, искомое значение равно:

$\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$

Ответ: 2

б) Вычислим корень четвертой степени из 10000. Необходимо найти неотрицательное число, 4-я степень которого равна 10000. Представим 10000 как степень числа 10:

$10000 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4$

Следовательно, искомое значение равно:

$\sqrt[4]{10000} = \sqrt[4]{10^4} = 10$

Ответ: 10

в) Для вычисления корня из дроби воспользуемся свойством $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:

$\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}}$

Корень четвертой степени из 1 равен 1. Для знаменателя найдем корень четвертой степени из 81. Для этого представим число 81 как степень числа 3:

$81 = 9 \cdot 9 = 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$

Значит, $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.

Подставляем полученные значения в дробь:

$\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

г) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство корня из дроби:

$\sqrt[4]{\frac{1}{625}} = \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{625}}$

Корень четвертой степени из 1 равен 1. Для знаменателя найдем корень четвертой степени из 625. Представим число 625 как степень числа 5:

$625 = 25 \cdot 25 = 5^2 \cdot 5^2 = 5^4$

Значит, $\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$.

Подставляем полученные значения в дробь:

$\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{625}} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$