Номер 272, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

272. Проверьте, является ли число:

а) 5 корнем пятой степени из 3125;

б) -2 корнем восьмой степени из 256;

в) 1,1 корнем четвёртой степени из 1,4641;

г) $- \frac{2}{3}$ корнем шестой степени из $ \frac{64}{729}$.

а) Чтобы проверить, является ли число 5 корнем пятой степени из 3125, необходимо, по определению корня, возвести число 5 в пятую степень. Если результат будет равен 3125, то утверждение верно.

Выполним вычисление:

$5^5 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 25 \times 25 \times 5 = 625 \times 5 = 3125$

Результат совпал с заданным числом. Следовательно, 5 является корнем пятой степени из 3125.

Ответ: да, является.

б) Чтобы проверить, является ли число -2 корнем восьмой степени из 256, необходимо возвести число -2 в восьмую степень. Если результат будет равен 256, то утверждение верно.

Выполним вычисление. Так как степень 8 — чётное число, то при возведении отрицательного числа в эту степень результат будет положительным:

$(-2)^8 = 2^8 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \times 16 = 256$

Результат совпал с заданным числом. Следовательно, -2 является корнем восьмой степени из 256.

Ответ: да, является.

в) Чтобы проверить, является ли число 1,1 корнем четвёртой степени из 1,4641, необходимо возвести число 1,1 в четвёртую степень. Если результат будет равен 1,4641, то утверждение верно.

Выполним вычисление:

$(1,1)^2 = 1,21$

$(1,1)^4 = (1,1)^2 \times (1,1)^2 = 1,21 \times 1,21 = 1,4641$

Результат совпал с заданным числом. Следовательно, 1,1 является корнем четвёртой степени из 1,4641.

Ответ: да, является.

г) Чтобы проверить, является ли число $-\frac{2}{3}$ корнем шестой степени из $\frac{64}{729}$, необходимо возвести дробь $-\frac{2}{3}$ в шестую степень. Если результат будет равен $\frac{64}{729}$, то утверждение верно.

Выполним вычисление. Так как степень 6 — чётное число, знак минус исчезнет:

$(-\frac{2}{3})^6 = (\frac{2}{3})^6 = \frac{2^6}{3^6}$

Вычислим числитель и знаменатель по отдельности:

$2^6 = 64$

$3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 729$

Таким образом, $(-\frac{2}{3})^6 = \frac{64}{729}$.

Результат совпал с заданным числом. Следовательно, $-\frac{2}{3}$ является корнем шестой степени из $\frac{64}{729}$.

Ответ: да, является.