Номер 269, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

269. Вычислите корень:

а) $\sqrt[4]{10^4}$;

б) $\sqrt[4]{\frac{1}{10000}}$;

в) $\sqrt[6]{64}$;

г) $\sqrt[4]{81}$.

Докажите правильность решения.

а) Вычислим корень $\sqrt[4]{10^4}$.
Согласно определению арифметического корня n-ой степени, для любого неотрицательного числа $a$ и натурального числа $n > 1$ справедливо равенство $\sqrt[n]{a^n} = a$.
В данном случае $a=10$ и $n=4$.
Следовательно, $\sqrt[4]{10^4} = 10$.
Доказательство:
По определению корня, если $\sqrt[4]{10000} = 10$, то должно выполняться равенство $10^4 = 10000$. Проверим это:
$10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000$.
Подкоренное выражение равно $10^4 = 10000$.
Так как равенство $10^4=10000$ верно, решение правильное.
Ответ: $10$.

б) Вычислим корень $\sqrt[4]{\frac{1}{10000}}$.
Сначала представим подкоренное выражение в виде степени. Мы знаем, что $10000 = 10^4$.
Тогда $\frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = (\frac{1}{10})^4$.
Получаем выражение: $\sqrt[4]{(\frac{1}{10})^4}$.
Используя свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$ для $a \ge 0$, имеем:
$\sqrt[4]{(\frac{1}{10})^4} = \frac{1}{10}$.
Доказательство:
Для доказательства возведем результат $\frac{1}{10}$ в 4-ю степень и сравним с подкоренным выражением.
$(\frac{1}{10})^4 = \frac{1^4}{10^4} = \frac{1}{10000}$.
Полученное значение совпадает с подкоренным выражением, следовательно, решение правильное.
Ответ: $\frac{1}{10}$.

в) Вычислим корень $\sqrt[6]{64}$.
Для вычисления корня необходимо найти число, которое при возведении в 6-ю степень даст 64.
Представим число 64 в виде степени. Так как $64 = 2 \times 32 = 2 \times 2^5 = 2^6$.
Тогда выражение принимает вид: $\sqrt[6]{2^6}$.
По свойству корня $\sqrt[n]{a^n} = a$ для $a \ge 0$, получаем:
$\sqrt[6]{2^6} = 2$.
Доказательство:
Проверим, возведя полученный ответ 2 в 6-ю степень.
$2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$.
Результат совпадает с подкоренным выражением, значит, вычисление выполнено верно.
Ответ: $2$.

г) Вычислим корень $\sqrt[4]{81}$.
Нужно найти число, которое в 4-й степени равно 81.
Разложим 81 на множители: $81 = 9 \times 9 = (3 \times 3) \times (3 \times 3) = 3^4$.
Таким образом, выражение можно записать как $\sqrt[4]{3^4}$.
Используя свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$ для $a \ge 0$, находим:
$\sqrt[4]{3^4} = 3$.
Доказательство:
Для проверки правильности решения возведем ответ 3 в 4-ю степень.
$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 = 81$.
Результат совпадает с числом под знаком корня, следовательно, решение верное.
Ответ: $3$.