Номер 263, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите (263—265):

263. а) $\sqrt[3]{2^3};$

б) $\sqrt[3]{5^3};$

в) $\sqrt[3]{(-4)^3};$

г) $\sqrt[3]{(-0,5)^3};$

д) $\sqrt[5]{8 \cdot 4};$

е) $\sqrt[7]{81 \cdot 27};$

ж) $\sqrt[3]{-3,6 \cdot 0,06};$

з) $\sqrt[3]{-5 \cdot 25}. $

а) Для вычисления выражения $\sqrt[3]{2^3}$ используется свойство корня нечетной степени: для любого нечетного $n$ и любого числа $a$ справедливо равенство $\sqrt[n]{a^n} = a$. В данном случае показатель корня $n=3$ является нечетным, а основание степени $a=2$. Таким образом, $\sqrt[3]{2^3} = 2$.
Ответ: 2

б) Аналогично предыдущему примеру, мы извлекаем корень 3-й степени (нечетной) из числа в 3-й степени. Применяя свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$ для нечетного $n$, получаем: $\sqrt[3]{5^3} = 5$.
Ответ: 5

в) Свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$ для нечетного $n$ справедливо и для отрицательных значений $a$. В этом выражении $n=3$ и $a=-4$. Следовательно, $\sqrt[3]{(-4)^3} = -4$.
Ответ: -4

г) В данном случае $n=3$ (нечетное) и $a=-0,5$. Используя то же свойство корня нечетной степени, получаем: $\sqrt[3]{(-0,5)^3} = -0,5$.
Ответ: -0,5

д) Для вычисления $\sqrt[5]{8 \cdot 4}$ сначала упростим подкоренное выражение. Можно выполнить умножение: $8 \cdot 4 = 32$. Тогда выражение примет вид $\sqrt[5]{32}$. Мы ищем число, которое при возведении в 5-ю степень дает 32. Таким числом является 2, так как $2^5 = 32$.
Другой способ — представить множители как степени двойки: $8=2^3$ и $4=2^2$. Тогда $\sqrt[5]{8 \cdot 4} = \sqrt[5]{2^3 \cdot 2^2} = \sqrt[5]{2^{3+2}} = \sqrt[5]{2^5} = 2$.
Ответ: 2

е) Для вычисления $\sqrt[7]{81 \cdot 27}$ представим множители под корнем как степени тройки. $81 = 3^4$ и $27 = 3^3$. Тогда подкоренное выражение равно $81 \cdot 27 = 3^4 \cdot 3^3 = 3^{4+3} = 3^7$. Таким образом, $\sqrt[7]{81 \cdot 27} = \sqrt[7]{3^7} = 3$.
Ответ: 3

ж) Чтобы вычислить $\sqrt[3]{-3,6 \cdot 0,06}$, сначала найдем произведение под корнем: $-3,6 \cdot 0,06 = -0,216$. Получаем $\sqrt[3]{-0,216}$. Так как корень нечетной степени, знак минус можно вынести: $\sqrt[3]{-0,216} = -\sqrt[3]{0,216}$. Нам известно, что $6^3=216$, следовательно, $(0,6)^3 = 0,216$. Значит, $\sqrt[3]{0,216} = 0,6$. Итоговый результат: $-0,6$.
Ответ: -0,6

з) Вычислим произведение под знаком корня в выражении $\sqrt[3]{-5 \cdot 25}$. Получаем: $-5 \cdot 25 = -125$. Выражение принимает вид $\sqrt[3]{-125}$. Мы ищем число, куб которого равен -125. Таким числом является -5, так как $(-5)^3 = -125$.
Ответ: -5