Номер 268, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

268. Докажите, что число:

а) 10 есть корень шестой степени из 1 000 000;

б) -2 есть корень четвёртой степени из 16;

в) 0,5 есть корень шестой степени из $\frac{1}{64}$;

г) $-\frac{1}{3}$ есть корень четвёртой степени из $\frac{1}{81}$.

а) Чтобы доказать, что число 10 является корнем шестой степени из 1 000 000, необходимо, согласно определению корня n-ой степени, показать, что при возведении числа 10 в шестую степень получится 1 000 000.

Проверим равенство: $10^6 = 1~000~000$.

Выполним вычисление:

$10^6 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1~000~000$.

Равенство выполняется, следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

б) Чтобы доказать, что число -2 является корнем четвертой степени из 16, необходимо показать, что $(-2)^4 = 16$.

Выполним возведение в степень. Так как показатель степени (4) является четным числом, результат будет положительным.

$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot 4 = 16$.

Равенство $(-2)^4 = 16$ выполняется, следовательно, -2 действительно является корнем четвертой степени из 16.

Ответ: Доказано.

в) Чтобы доказать, что число 0,5 является корнем шестой степени из $\frac{1}{64}$, необходимо проверить равенство $(0,5)^6 = \frac{1}{64}$.

Для удобства вычислений представим 0,5 в виде обыкновенной дроби: $0,5 = \frac{1}{2}$.

Теперь возведем эту дробь в шестую степень:

$(\frac{1}{2})^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{64}$.

Равенство $(0,5)^6 = \frac{1}{64}$ выполняется, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

г) Чтобы доказать, что число $-\frac{1}{3}$ является корнем четвертой степени из $\frac{1}{81}$, необходимо проверить, выполняется ли равенство $(-\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}$.

Выполним возведение в степень. Так как показатель степени (4) — четное число, результат будет положительным.

$(-\frac{1}{3})^4 = (\frac{1}{3})^4 = \frac{1^4}{3^4} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{81}$.

Равенство $(-\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}$ выполняется, следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.