Номер 262, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

262. Найдите значение выражения:

а) $(\sqrt[5]{2})^5$;

б) $(\sqrt[7]{12})^7$;

в) $(\sqrt[3]{-8})^3$;

г) $(\sqrt[11]{-3})^{11}$.

а) Для того чтобы найти значение выражения $(\sqrt[5]{2})^5$, необходимо использовать основное свойство корня n-ой степени. По определению, возведение в n-ую степень является обратной операцией к извлечению корня n-ой степени. Это выражается формулой $(\sqrt[n]{a})^n = a$, при условии, что выражение $\sqrt[n]{a}$ имеет смысл.

В данном случае показатель корня $n=5$ (нечетное число), а подкоренное выражение $a=2$. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа. Следовательно, мы можем применить указанную формулу.

$(\sqrt[5]{2})^5 = 2$.

Ответ: 2

б) Аналогично предыдущему пункту, для выражения $(\sqrt[7]{12})^7$ применяется то же свойство $(\sqrt[n]{a})^n = a$.

Здесь показатель корня $n=7$ (нечетное число) и подкоренное выражение $a=12$.

$(\sqrt[7]{12})^7 = 12$.

Ответ: 12

в) В выражении $(\sqrt[3]{-8})^3$ показатель корня $n=3$ является нечетным числом. Корень нечетной степени из отрицательного числа существует и является действительным числом. Поэтому свойство $(\sqrt[n]{a})^n = a$ также применимо.

В данном случае $n=3$ и $a=-8$.

$(\sqrt[3]{-8})^3 = -8$.

Можно также выполнить вычисления по шагам для проверки: сначала найдем значение корня $\sqrt[3]{-8} = -2$, так как $(-2)^3 = -8$. Затем возведем результат в куб: $(-2)^3 = -8$.

Ответ: -8

г) Для выражения $(\sqrt[11]{-3})^{11}$ показатель корня $n=11$ является нечетным числом. Как и в предыдущем примере, корень нечетной степени из отрицательного числа определен.

Применяя свойство $(\sqrt[n]{a})^n = a$ для $n=11$ и $a=-3$, получаем:

$(\sqrt[11]{-3})^{11} = -3$.

Ответ: -3