Номер 256, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

256. Почему не существует корня чётной степени из отрицательного числа?

Этот вопрос связан с определением корня и свойствами возведения чисел в степень.

По определению, корнем n-ой степени из числа $a$ (обозначается как $\sqrt[n]{a}$) называется такое число $b$, которое при возведении в степень $n$ дает в результате число $a$. Это можно записать в виде равенства:

$b^n = a$

Теперь рассмотрим конкретный случай, когда степень корня $n$ является чётным числом (например, 2, 4, 6, и т.д.), а число под корнем $a$ — отрицательным ($a < 0$).

Пусть $n = 2k$, где $k$ — натуральное число. Тогда мы ищем такое действительное число $b$, что:

$b^{2k} = a$, при этом $a < 0$.

Проанализируем, каким может быть результат возведения любого действительного числа $b$ в чётную степень $2k$:

• Если число $b$ положительное ($b > 0$), то произведение чётного количества положительных чисел всегда будет положительным. Например, $2^4 = 16 > 0$.
• Если число $b$ отрицательное ($b < 0$), то произведение чётного количества отрицательных чисел также всегда будет положительным. Например, $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 > 0$.
• Если число $b$ равно нулю ($b = 0$), то его возведение в любую натуральную степень даст ноль. Например, $0^4 = 0$.

Как мы видим, любое действительное число, возведённое в чётную степень, даёт в результате неотрицательное число (то есть положительное или ноль). Математически это записывается как $b^{2k} \ge 0$ для любого действительного $b$.

Возникает противоречие: с одной стороны, $b^{2k}$ должно быть равно отрицательному числу $a$, а с другой стороны, мы доказали, что $b^{2k}$ всегда неотрицательно. Неотрицательное число не может быть равно отрицательному.

Следовательно, в множестве действительных чисел не существует такого числа $b$, которое удовлетворяло бы уравнению $b^{2k} = a$, если $a < 0$.

Ответ: Корень чётной степени из отрицательного числа не существует в множестве действительных чисел, потому что любое действительное число (положительное, отрицательное или ноль) при возведении в чётную степень всегда даёт неотрицательный результат (больше или равный нулю), и он никак не может быть равен отрицательному числу.