Номер 253, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

253. Для любого ли действительного числа существует корень чётной степени?

Нет, не для любого действительного числа существует корень чётной степени.

По определению, корнем чётной степени $2n$ (где $n$ — натуральное число, например, 2, 4, 6 и т.д.) из действительного числа $a$ называется такое действительное число $x$, которое при возведении в степень $2n$ даёт число $a$. Это можно записать в виде уравнения: $x^{2n} = a$.

Рассмотрим, каким может быть результат возведения любого действительного числа $x$ в чётную степень $2n$:

1. Если число $x$ положительное ($x > 0$), то и результат $x^{2n}$ будет положительным.
2. Если число $x$ равно нулю ($x = 0$), то и результат $x^{2n}$ будет равен нулю.
3. Если число $x$ отрицательное ($x < 0$), то при возведении в чётную степень знак "минус" исчезает, и результат $x^{2n}$ становится положительным. Например, $(-2)^2 = 4$ или $(-3)^4 = 81$.

Таким образом, для любого действительного числа $x$ (положительного, отрицательного или нуля) результат его возведения в чётную степень всегда является неотрицательным числом. Математически это записывается как $x^{2n} \ge 0$.

Из этого следует, что уравнение $x^{2n} = a$ может иметь решение в действительных числах только в том случае, если $a$ — неотрицательное число ($a \ge 0$). Если же мы возьмём любое отрицательное действительное число, например $a = -16$, то корень чётной степени из него (например, $\sqrt[4]{-16}$) не будет существовать в множестве действительных чисел, так как нет такого действительного числа $x$, для которого выполнялось бы равенство $x^4 = -16$.

Ответ: Нет, корень чётной степени в множестве действительных чисел существует только для неотрицательных чисел (то есть для положительных чисел и нуля). Для любого отрицательного действительного числа корень чётной степени не определён.