Номер 247, страница 82 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

247. Всегда ли существуют два корня чётной степени из одного и того же неотрицательного числа?

По определению, корень n-ой степени из числа $a$ — это число $x$, такое что $x^n = a$. Если степень корня $n$ является чётным числом (обозначим её как $2k$, где $k$ — натуральное число), то мы ищем число $x$, для которого выполняется равенство $x^{2k} = a$. Вопрос касается неотрицательных чисел, то есть случаев, когда $a \geq 0$.

Рассмотрим два случая для неотрицательного числа $a$.

Случай 1: $a$ — строго положительное число ($a > 0$)
Если $a > 0$, то уравнение $x^{2k} = a$ всегда имеет два действительных корня. Один из них — это положительный корень, который называется арифметическим корнем и обозначается как $\sqrt[2k]{a}$. Обозначим его как $b = \sqrt[2k]{a}$. Тогда $b^{2k} = a$ и $b > 0$.
Второй корень — это число, противоположное первому, то есть $-b$. Проверим его:
$(-b)^{2k} = (-1)^{2k} \cdot b^{2k}$.
Поскольку $2k$ — чётное число, $(-1)^{2k} = 1$. Следовательно, $(-b)^{2k} = 1 \cdot b^{2k} = a$.
Так как $a > 0$, то $b \neq 0$, а значит, корни $b$ и $-b$ различны.
Например, для числа 16 корень 4-й степени — это числа 2 и -2, так как $2^4 = 16$ и $(-2)^4 = 16$.

Случай 2: $a$ равно нулю ($a = 0$)
Если $a = 0$, то мы ищем корень чётной степени из нуля. Уравнение принимает вид $x^{2k} = 0$.
Единственным действительным числом, которое при возведении в любую положительную степень даёт ноль, является сам ноль. То есть $x=0$ — это единственный корень уравнения. В этом случае не существует двух различных корней.

Таким образом, утверждение, что всегда существуют два корня чётной степени из неотрицательного числа, неверно, так как оно не выполняется для числа ноль. Для любого строго положительного числа утверждение верно, но для нуля — нет.
Ответ: Нет, не всегда. Для любого строго положительного числа $a > 0$ существует два корня чётной степени ($\sqrt[2k]{a}$ и $-\sqrt[2k]{a}$), но для числа $a=0$ существует только один корень чётной степени, который равен нулю.