Номер 245, страница 82 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

245. Найдите корень четвёртой степени из числа:

а) 0;

б) 160 000;

в) 62 500 000 000;

г) -0,0001;

д) $1 \cdot 10^{-8}$;

е) $1.6 \cdot 10^{-3}$.

Докажите правильность решения.

а) Чтобы найти корень четвертой степени из числа 0, нужно найти такое число $x$, для которого выполняется равенство $x^4 = 0$. Единственным действительным числом, удовлетворяющим этому условию, является 0.
Таким образом, $\sqrt[4]{0} = 0$.
Доказательство: Для проверки возведем полученный результат в четвертую степень: $0^4 = 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$. Полученное значение совпадает с подкоренным выражением, следовательно, решение верно.
Ответ: 0.

б) Найдем корень четвертой степени из 160 000. Для удобства представим число 160 000 в виде произведения чисел, из которых легко извлечь корень: $160 000 = 16 \cdot 10 000 = 16 \cdot 10^4$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt[4]{160 000} = \sqrt[4]{16 \cdot 10^4} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{10^4}$.
Поскольку $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$.
Поскольку $10^4 = 10 000$, то $\sqrt[4]{10^4} = 10$.
Следовательно, $\sqrt[4]{160 000} = 2 \cdot 10 = 20$.
Доказательство: Проверим правильность решения, возведя 20 в четвертую степень: $20^4 = (2 \cdot 10)^4 = 2^4 \cdot 10^4 = 16 \cdot 10 000 = 160 000$. Результат совпал с исходным числом.
Ответ: 20.

в) Найдем корень четвертой степени из 62 500 000 000. Представим число в виде произведения: $62 500 000 000 = 625 \cdot 100 000 000 = 625 \cdot 10^8$.
Извлечем корень из произведения: $\sqrt[4]{62 500 000 000} = \sqrt[4]{625 \cdot 10^8} = \sqrt[4]{625} \cdot \sqrt[4]{10^8}$.
Так как $5^4 = 625$, то $\sqrt[4]{625} = 5$.
Используя свойство степени, $\sqrt[4]{10^8} = 10^{8/4} = 10^2 = 100$.
Тогда искомый корень равен $5 \cdot 100 = 500$.
Доказательство: Возведем 500 в четвертую степень: $500^4 = (5 \cdot 10^2)^4 = 5^4 \cdot (10^2)^4 = 625 \cdot 10^8 = 62 500 000 000$. Решение верное.
Ответ: 500.

г) Необходимо найти корень четвертой степени из -0,0001. Арифметический корень четной степени (в данном случае 4) определен только для неотрицательных чисел. В множестве действительных чисел не существует такого числа, которое при возведении в четную степень дало бы отрицательный результат.
Доказательство: Допустим, существует действительное число $x$, такое что $x = \sqrt[4]{-0,0001}$. По определению корня, это означало бы, что $x^4 = -0,0001$. Однако для любого действительного числа $x$ (положительного, отрицательного или нуля) его четвертая степень $x^4$ всегда будет неотрицательной, то есть $x^4 \ge 0$. Поскольку $-0,0001 < 0$, мы получили противоречие. Следовательно, корень не существует в множестве действительных чисел.
Ответ: корня не существует (в множестве действительных чисел).

д) Найдем корень четвертой степени из $1 \cdot 10^{-8}$.
$\sqrt[4]{1 \cdot 10^{-8}} = \sqrt[4]{10^{-8}}$.
Воспользуемся свойством корня из степени $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$: $\sqrt[4]{10^{-8}} = 10^{-8/4} = 10^{-2}$.
Представим результат в виде десятичной дроби: $10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$.
Доказательство: Проверим результат возведением в степень: $(0,01)^4 = (10^{-2})^4 = 10^{-2 \cdot 4} = 10^{-8} = 1 \cdot 10^{-8}$. Результат совпадает с исходным числом.
Ответ: 0,01.

е) Найдем корень четвертой степени из $1,6 \cdot 10^{-3}$. Чтобы было удобнее извлекать корень, преобразуем подкоренное выражение: $1,6 \cdot 10^{-3} = 16 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-3} = 16 \cdot 10^{-4}$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt[4]{1,6 \cdot 10^{-3}} = \sqrt[4]{16 \cdot 10^{-4}} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{10^{-4}}$.
$\sqrt[4]{16} = 2$ и $\sqrt[4]{10^{-4}} = 10^{-4/4} = 10^{-1} = 0,1$.
Таким образом, результат равен $2 \cdot 0,1 = 0,2$.
Доказательство: Возведем 0,2 в четвертую степень: $0,2^4 = (2 \cdot 10^{-1})^4 = 2^4 \cdot (10^{-1})^4 = 16 \cdot 10^{-4}$. Преобразуем обратно: $16 \cdot 10^{-4} = 1,6 \cdot 10 \cdot 10^{-4} = 1,6 \cdot 10^{-3}$. Решение верное.
Ответ: 0,2.