Номер 243, страница 82 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

243. Докажите, что число:

а) 3 есть корень третьей степени из 27;

б) -0,5 есть корень четвёртой степени из 0,0625;

в) 7 — корень четвёртой степени из 2401;

г) $-1\frac{1}{3}$ — корень третьей степени из $-2\frac{10}{27}$.

а) Чтобы доказать, что число 3 является корнем третьей степени из 27, необходимо по определению корня n-ой степени возвести число 3 в третью степень и проверить, равен ли результат 27. Выполним возведение в степень: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$. Поскольку $3^3 = 27$, утверждение верно.
Ответ: Доказано.

б) Чтобы доказать, что число -0,5 является корнем четвёртой степени из 0,0625, необходимо возвести число -0,5 в четвёртую степень. Выполним вычисление: $(-0,5)^4 = (-0,5) \cdot (-0,5) \cdot (-0,5) \cdot (-0,5)$. Так как показатель степени (4) является чётным числом, результат будет положительным. $(-0,5)^4 = 0,5^4 = (0,5 \cdot 0,5) \cdot (0,5 \cdot 0,5) = 0,25 \cdot 0,25 = 0,0625$. Поскольку $(-0,5)^4 = 0,0625$, утверждение верно.
Ответ: Доказано.

в) Чтобы доказать, что 7 является корнем четвёртой степени из 2401, необходимо возвести 7 в четвёртую степень и сравнить результат с 2401. Вычислим $7^4$: $7^4 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = (7 \cdot 7) \cdot (7 \cdot 7) = 49 \cdot 49$. $49^2 = 2401$. Так как $7^4 = 2401$, утверждение верно.
Ответ: Доказано.

г) Чтобы доказать, что число $-1\frac{1}{3}$ является корнем третьей степени из $-2\frac{10}{27}$, необходимо возвести число $-1\frac{1}{3}$ в третью степень. Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби для удобства вычислений: $-1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3}$. $-2\frac{10}{27} = -\frac{2 \cdot 27 + 10}{27} = -\frac{54 + 10}{27} = -\frac{64}{27}$. Теперь возведем дробь $-\frac{4}{3}$ в третью степень: $(-\frac{4}{3})^3 = \frac{(-4)^3}{3^3} = \frac{-64}{27}$. Результат совпадает с числом $-2\frac{10}{27}$ в виде неправильной дроби. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: Доказано.