Номер 236, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

236. Что называют корнем:

а) квадратным;

б) кубическим;

в) пятой степени;

г) степени $n$ ($n \geq 2$, $n \in N$) из числа $b$?

а) квадратным

Квадратным корнем из числа $b$ называют такое число $a$, вторая степень (квадрат) которого равна числу $b$. Это означает, что если число $a$ умножить само на себя, получится $b$. Математически это записывается уравнением $a^2 = b$.

Например, для числа $b=16$ квадратными корнями являются числа $a=4$ и $a=-4$, так как $4^2 = 16$ и $(-4)^2 = 16$.

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $b$ называют его неотрицательный корень. Он обозначается знаком $\sqrt{\phantom{b}}$, например, $\sqrt{16} = 4$.

Ответ: Число $a$, квадрат которого равен $b$.

б) кубическим

Кубическим корнем из числа $b$ называют такое число $a$, третья степень (куб) которого равна числу $b$. Математически это выражается формулой $a^3 = b$.

В отличие от квадратного корня, кубический корень из любого действительного числа $b$ всегда существует и является единственным. Он обозначается как $\sqrt[3]{b}$.

Например, кубический корень из $b=8$ равен $a=2$, так как $2^3 = 8$. Кубический корень из $b=-27$ равен $a=-3$, так как $(-3)^3 = -27$.

Ответ: Число $a$, куб которого равен $b$.

в) пятой степени

Корнем пятой степени из числа $b$ называют такое число $a$, пятая степень которого равна числу $b$. Математически это записывается как $a^5 = b$.

Как и любой корень нечетной степени, корень пятой степени из действительного числа $b$ всегда существует и единственен. Обозначается он как $\sqrt[5]{b}$.

Например, корень пятой степени из $b=32$ равен $a=2$, потому что $2^5 = 32$. Корень пятой степени из $b=-243$ равен $a=-3$, так как $(-3)^5 = -243$.

Ответ: Число $a$, пятая степень которого равна $b$.

г) степени $n$ ($n \ge 2, n \in N$) из числа $b$

Корнем $n$-й степени из числа $b$ (где $n$ — натуральное число, не меньшее 2) называют такое число $a$, что его $n$-я степень равна $b$. Это можно записать в виде уравнения: $a^n = b$.

Свойства корня $n$-й степени зависят от четности или нечетности показателя $n$.

1. Если $n$ — нечетное число ($3, 5, 7, \dots$), то для любого действительного числа $b$ существует единственный действительный корень $n$-й степени, обозначаемый как $\sqrt[n]{b}$. Знак этого корня совпадает со знаком числа $b$.

2. Если $n$ — четное число ($2, 4, 6, \dots$), то:
- если $b > 0$, существует два действительных корня $n$-й степени: один положительный и один отрицательный. Положительный корень называется арифметическим корнем и обозначается $\sqrt[n]{b}$, а отрицательный равен ему по модулю: $-\sqrt[n]{b}$. Например, $\sqrt[4]{81} = 3$, а второй корень равен $-3$.
- если $b = 0$, то существует единственный корень, равный нулю: $\sqrt[n]{0} = 0$.
- если $b < 0$, то действительных корней $n$-й степени не существует, так как любое действительное число в четной степени неотрицательно.

Ответ: Число $a$, $n$-я степень которого равна $b$.