Номер 232, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

232. Сравните значения функций $y = x^4$ и $y = x^6$ при значениях аргумента:

а) $x > 1$;

б) $x < -1$;

в) $-1 < x < 0$;

г) $0 < x < 1$.

Чтобы сравнить значения функций $y=x^4$ и $y=x^6$ для заданных значений аргумента $x$, мы проанализируем знак их разности: $x^6 - x^4$.

Разложим разность на множители: $x^6 - x^4 = x^4(x^2 - 1)$.

Множитель $x^4$ всегда неотрицателен ($x^4 \ge 0$), так как любая четная степень действительного числа неотрицательна. На всех рассматриваемых интервалах $x \ne 0$, поэтому $x^4 > 0$. Это означает, что знак разности $x^6 - x^4$ будет таким же, как и знак выражения $(x^2 - 1)$.

а) $x > 1$

Если $x > 1$, то $x^2 > 1$, и, следовательно, выражение $x^2 - 1$ положительно. Поскольку $x^4 > 0$ и $x^2 - 1 > 0$, их произведение $x^4(x^2-1)$ также положительно. Таким образом, $x^6 - x^4 > 0$, что означает $x^6 > x^4$.

Ответ: При $x > 1$ значение функции $y=x^6$ больше значения функции $y=x^4$, то есть $x^6 > x^4$.

б) $x < -1$

Если $x < -1$, то $|x| > 1$. При возведении в квадрат получаем $x^2 = |x|^2 > 1$, значит, выражение $x^2 - 1$ положительно. Поскольку $x^4 > 0$ и $x^2 - 1 > 0$, их произведение $x^4(x^2-1)$ положительно. Таким образом, $x^6 - x^4 > 0$, что означает $x^6 > x^4$.

Ответ: При $x < -1$ значение функции $y=x^6$ больше значения функции $y=x^4$, то есть $x^6 > x^4$.

в) $-1 < x < 0$

Если $-1 < x < 0$, то $0 < |x| < 1$. При возведении в квадрат получаем $x^2 = |x|^2 < 1$, значит, выражение $x^2 - 1$ отрицательно. Поскольку $x^4 > 0$, а $x^2 - 1 < 0$, их произведение $x^4(x^2-1)$ отрицательно. Таким образом, $x^6 - x^4 < 0$, что означает $x^6 < x^4$.

Ответ: При $-1 < x < 0$ значение функции $y=x^6$ меньше значения функции $y=x^4$, то есть $x^6 < x^4$.

г) $0 < x < 1$

Если $0 < x < 1$, то $x^2 < 1$, и, следовательно, выражение $x^2 - 1$ отрицательно. Поскольку $x^4 > 0$, а $x^2 - 1 < 0$, их произведение $x^4(x^2-1)$ отрицательно. Таким образом, $x^6 - x^4 < 0$, что означает $x^6 < x^4$.

Ответ: При $0 < x < 1$ значение функции $y=x^6$ меньше значения функции $y=x^4$, то есть $x^6 < x^4$.