Страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

225. Учитывая чётность (нечётность) функции, постройте её график (для построения графика достаточно определить четверти, в которых он расположен, и примерное его расположение с помощью нескольких точек):

а) $y = x^6$;

б) $y = x^7$;

в) $y = x^8$;

г) $y = x^9$;

д) $y = x^{10}$;

е) $y = x^4$.

Для решения этой задачи воспользуемся общим свойством степенной функции $y=x^n$:

• Если показатель степени n - чётное число, то функция является чётной. Это означает, что $y(-x) = (-x)^n = x^n = y(x)$. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Поскольку $x^n \ge 0$ при чётном n, график расположен в I и II координатных четвертях.
• Если показатель степени n - нечётное число, то функция является нечётной. Это означает, что $y(-x) = (-x)^n = -x^n = -y(x)$. График такой функции симметричен относительно начала координат. При $x>0$ будет $y>0$ (I четверть), а при $x<0$ будет $y<0$ (III четверть).

а) $y = x^6$

1. Чётность. Показатель степени $n=6$ является чётным числом. Следовательно, функция является чётной, так как $y(-x) = (-x)^6 = x^6 = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

2. Четверти. Поскольку любое действительное число в чётной степени неотрицательно, $y = x^6 \ge 0$ для всех значений $x$. Это означает, что график функции расположен в I и II координатных четвертях.

3. Контрольные точки. Для построения эскиза графика найдём несколько точек. В силу симметрии достаточно рассмотреть $x \ge 0$.
- При $x = 0$, $y = 0^6 = 0$. Точка (0; 0) - начало координат.
- При $x = 1$, $y = 1^6 = 1$. Точка (1; 1).
- При $x = -1$, в силу чётности, $y = (-1)^6 = 1$. Точка (-1; 1).
График проходит через начало координат, имеет U-образную форму, похожую на параболу $y=x^2$, но в интервале $(-1, 1)$ он более плоский (ближе прижат к оси Ox), а при $|x| > 1$ растёт гораздо быстрее.

Ответ: Функция чётная, график симметричен относительно оси Oy и расположен в I и II четвертях. Проходит через точки (-1; 1), (0; 0), (1; 1).

б) $y = x^7$

1. Нечётность. Показатель степени $n=7$ является нечётным числом. Следовательно, функция является нечётной, так как $y(-x) = (-x)^7 = -x^7 = -y(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

2. Четверти. Если $x > 0$, то $y = x^7 > 0$, значит, часть графика находится в I координатной четверти. Если $x < 0$, то $y = x^7 < 0$, значит, другая часть графика находится в III координатной четверти.

3. Контрольные точки. Найдём несколько точек для $x \ge 0$.
- При $x = 0$, $y = 0^7 = 0$. Точка (0; 0) - центр симметрии.
- При $x = 1$, $y = 1^7 = 1$. Точка (1; 1).
- В силу нечётности, для $x = -1$ имеем $y = -1$. Точка (-1; -1).
График проходит через начало координат, имеет S-образную форму, похожую на кубическую параболу $y=x^3$, но в интервале $(-1, 1)$ он более плоский, а при $|x| > 1$ растёт быстрее.

Ответ: Функция нечётная, график симметричен относительно начала координат и расположен в I и III четвертях. Проходит через точки (-1; -1), (0; 0), (1; 1).

в) $y = x^8$

1. Чётность. Показатель степени $n=8$ — чётное число. Функция чётная ($y(-x) = (-x)^8 = x^8 = y(x)$). Её график симметричен относительно оси Oy.

2. Четверти. Так как $x^8 \ge 0$ для любого $x$, график функции целиком лежит в верхней полуплоскости, то есть в I и II четвертях.

3. Контрольные точки.
- При $x = 0$, $y = 0^8 = 0$. Точка (0; 0).
- При $x = 1$, $y = 1^8 = 1$. Точка (1; 1).
- При $x = -1$, $y = (-1)^8 = 1$. Точка (-1; 1).
График функции — кривая, проходящая через начало координат, симметричная относительно оси Oy. По сравнению с графиком $y=x^6$, этот график ещё более плоский вблизи нуля и ещё более круто уходит вверх при $|x|>1$.

Ответ: Функция чётная, график симметричен относительно оси Oy и расположен в I и II четвертях. Проходит через точки (-1; 1), (0; 0), (1; 1).

г) $y = x^9$

1. Нечётность. Показатель степени $n=9$ — нечётное число. Функция нечётная ($y(-x) = (-x)^9 = -x^9 = -y(x)$). Её график симметричен относительно начала координат.

2. Четверти. При $x > 0$ имеем $y > 0$ (I четверть). При $x < 0$ имеем $y < 0$ (III четверть).

3. Контрольные точки.
- При $x = 0$, $y = 0^9 = 0$. Точка (0; 0).
- При $x = 1$, $y = 1^9 = 1$. Точка (1; 1).
- При $x = -1$, $y = (-1)^9 = -1$. Точка (-1; -1).
График проходит через начало координат. По сравнению с графиком $y=x^7$, этот график ещё более плоский вблизи нуля и ещё более круто уходит вверх/вниз при $|x|>1$.

Ответ: Функция нечётная, график симметричен относительно начала координат и расположен в I и III четвертях. Проходит через точки (-1; -1), (0; 0), (1; 1).

д) $y = x^{10}$

1. Чётность. Показатель степени $n=10$ — чётное число. Функция чётная ($y(-x) = (-x)^{10} = x^{10} = y(x)$). Её график симметричен относительно оси Oy.

2. Четверти. Так как $x^{10} \ge 0$ для любого $x$, график функции расположен в I и II четвертях.

3. Контрольные точки.
- При $x = 0$, $y = 0^{10} = 0$. Точка (0; 0).
- При $x = 1$, $y = 1^{10} = 1$. Точка (1; 1).
- При $x = -1$, $y = (-1)^{10} = 1$. Точка (-1; 1).
График функции — U-образная кривая, проходящая через начало координат. График очень плоский вблизи нуля и очень круто уходит вверх при $|x|>1$.

Ответ: Функция чётная, график симметричен относительно оси Oy и расположен в I и II четвертях. Проходит через точки (-1; 1), (0; 0), (1; 1).

е) $y = x^4$

1. Чётность. Показатель степени $n=4$ — чётное число. Функция чётная ($y(-x) = (-x)^4 = x^4 = y(x)$). Её график симметричен относительно оси Oy.

2. Четверти. Так как $x^4 \ge 0$ для любого $x$, график функции расположен в I и II четвертях.

3. Контрольные точки.
- При $x = 0$, $y = 0^4 = 0$. Точка (0; 0).
- При $x = 1$, $y = 1^4 = 1$. Точка (1; 1).
- При $x = -1$, $y = (-1)^4 = 1$. Точка (-1; 1).
График функции — кривая, похожая на параболу $y=x^2$, проходящая через начало координат и точки (1;1) и (-1;1). Она более плоская около нуля и растёт быстрее, чем $y=x^2$, при $|x|>1$.

Ответ: Функция чётная, график симметричен относительно оси Oy и расположен в I и II четвертях. Проходит через точки (-1; 1), (0; 0), (1; 1).

226. Постройте график функции:

а) $y = x^{20}$;

б) $y = x^{100}$.

а)

Рассмотрим функцию $y = x^{20}$. Это степенная функция вида $y = x^n$, где показатель $n=20$ является четным натуральным числом.

Исследуем свойства этой функции, чтобы построить ее график:

• Область определения: Функция определена для любых значений $x$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Так как показатель степени $20$ — четное число, то $x^{20} \ge 0$ при любом $x$. Следовательно, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: Функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^{20} = x^{20} = y(x)$. Это означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Ключевые точки: Найдем несколько точек, принадлежащих графику:
  • При $x = 0$, $y = 0^{20} = 0$. График проходит через начало координат (0, 0).
  • При $x = 1$, $y = 1^{20} = 1$. График проходит через точку (1, 1).
  • При $x = -1$, $y = (-1)^{20} = 1$. График проходит через точку (-1, 1).
• Поведение функции:
  • На интервале $(-1, 1)$: если $|x| < 1$, то $x^{20}$ будет очень маленьким положительным числом. Например, при $x = 0.5$, $y = (0.5)^{20} = \frac{1}{2^{20}} \approx 0.000001$. Поэтому в этой области график функции очень близок к оси абсцисс (оси OX), образуя "плоское дно".
  • При $|x| > 1$: значение $x^{20}$ растет очень быстро. Например, при $x = 2$, $y = 2^{20} = 1048576$. Ветви графика устремляются вверх очень круто, гораздо круче, чем у параболы $y = x^2$.

Построение графика:
График функции $y = x^{20}$ имеет U-образную форму, похожую на параболу, но с более плоским основанием вблизи нуля и более крутыми ветвями. Он проходит через точки (-1, 1), (0, 0) и (1, 1) и симметричен относительно оси OY. В интервале от -1 до 1 график практически сливается с осью OX, а за пределами этого интервала резко уходит вверх.

Ответ: График функции $y = x^{20}$ — это кривая, симметричная относительно оси OY, проходящая через точки (-1, 1), (0, 0), (1, 1). В интервале $(-1, 1)$ график очень сильно прижат к оси OX, а при $|x| > 1$ очень круто уходит вверх.

б)

Рассмотрим функцию $y = x^{100}$. Это также степенная функция $y = x^n$ с четным показателем $n=100$.

Ее свойства аналогичны свойствам функции $y = x^{20}$, но выражены еще сильнее из-за большего показателя степени.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: Функция четная, так как $y(-x) = (-x)^{100} = x^{100} = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.
• Ключевые точки: График также проходит через точки (0, 0), (1, 1) и (-1, 1).
• Сравнение с $y = x^{20}$:
  • На интервале $(-1, 1)$: если $|x| < 1$, то $x^{100} < x^{20}$. Например, при $x=0.5$, значение $y = (0.5)^{100}$ еще намного ближе к нулю, чем $(0.5)^{20}$. Это означает, что "плоское дно" у графика $y = x^{100}$ еще шире и еще ближе к оси OX.
  • При $|x| > 1$: значение $x^{100} > x^{20}$. Рост функции происходит еще стремительнее. Ветви графика $y = x^{100}$ поднимаются еще круче, чем у $y = x^{20}$.

Построение графика:
График функции $y = x^{100}$ имеет ту же U-образную форму и проходит через те же три ключевые точки (-1, 1), (0, 0), (1, 1). Однако, по сравнению с графиком $y = x^{20}$, он еще сильнее прижат к оси OX на интервале $(-1, 1)$ и еще резче устремляется вверх при $|x| > 1$. Визуально он выглядит как прямоугольная "чаша" с очень плоским дном и почти вертикальными стенками.

Ответ: График функции $y = x^{100}$ — это кривая, симметричная относительно оси OY, проходящая через точки (-1, 1), (0, 0), (1, 1). По сравнению с графиком $y=x^{20}$, на интервале $(-1, 1)$ он еще ближе к оси OX, а при $|x| > 1$ растет еще быстрее, имея более крутые ветви.

227. Принадлежит ли графику функции $y = x^5$ точка:

а) A $(-1; -1)$;

б) B $(2; 64)$;

в) C $(2; 32)$?

а) Для того чтобы определить, принадлежит ли точка $A(-1; -1)$ графику функции $y = x^5$, необходимо подставить координаты этой точки в уравнение функции. Координата $x$ точки $A$ равна $-1$, а координата $y$ равна $-1$.
Подставим значение $x = -1$ в правую часть уравнения функции: $y = (-1)^5 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$.
Полученное значение $y = -1$ совпадает с ординатой точки $A$. Следовательно, равенство $-1 = -1$ является верным, и точка $A$ принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

б) Проверим принадлежность точки $B(2; 64)$ графику функции $y = x^5$. Координата $x$ точки $B$ равна $2$, а координата $y$ равна $64$.
Подставим значение $x = 2$ в правую часть уравнения функции: $y = 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
Полученное значение $y = 32$ не совпадает с ординатой точки $B$, так как $32 \neq 64$. Следовательно, точка $B$ не принадлежит графику функции.
Ответ: нет, не принадлежит.

в) Проверим принадлежность точки $C(2; 32)$ графику функции $y = x^5$. Координата $x$ точки $C$ равна $2$, а координата $y$ равна $32$.
Подставим значение $x = 2$ в правую часть уравнения функции: $y = 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
Полученное значение $y = 32$ совпадает с ординатой точки $C$. Следовательно, равенство $32 = 32$ является верным, и точка $C$ принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

228. Принадлежит ли графику функции $y = x^6$ точка:

а) A (-2; 64);

б) B (-1; 1);

в) C (2; 32)?

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка с координатами $(x; y)$ графику функции, необходимо подставить эти координаты в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

Дана функция $y = x^6$.

а) A(-2; 64)

Подставим координаты точки $A$ в уравнение функции, где $x = -2$ и $y = 64$.

Проверим, выполняется ли равенство: $y = x^6$.

$64 = (-2)^6$

Вычислим правую часть уравнения. Так как степень четная (6), результат будет положительным.

$(-2)^6 = 64$

В результате мы получили верное равенство: $64 = 64$.

Следовательно, точка A(-2; 64) принадлежит графику функции.

Ответ: да, принадлежит.

б) B(-1; 1)

Подставим координаты точки $B$ в уравнение функции, где $x = -1$ и $y = 1$.

Проверим, выполняется ли равенство: $y = x^6$.

$1 = (-1)^6$

Вычислим правую часть уравнения. Возведение -1 в четную степень дает 1.

$(-1)^6 = 1$

В результате мы получили верное равенство: $1 = 1$.

Следовательно, точка B(-1; 1) принадлежит графику функции.

Ответ: да, принадлежит.

в) C(2; 32)

Подставим координаты точки $C$ в уравнение функции, где $x = 2$ и $y = 32$.

Проверим, выполняется ли равенство: $y = x^6$.

$32 = 2^6$

Вычислим правую часть уравнения.

$2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$

В результате мы получили неверное равенство: $32 \neq 64$.

Следовательно, точка C(2; 32) не принадлежит графику функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

229. В одной системе координат постройте графики функций $y = x^4$ и $y = x^3$.

а) Сравните значения этих функций на промежутке $(0; 1)$; $(1; +\infty)$.

б) При каких значениях $x$ значения каждой из данных функций больше $0$? меньше $0$? больше $1$? меньше $1$?

в) Существуют ли такие значения $x$, при которых значения функции $y = x^3$ больше соответствующих значений функции $y = x^4$?

г) На каком промежутке каждая из данных функций является возрастающей? убывающей?

Для решения задачи сначала проанализируем и построим (мысленно) графики функций $y = x^4$ и $y = x^3$.

Функция $y = x^4$ является степенной функцией с четным показателем. Её график симметричен относительно оси ординат (OY), так как функция четная ($(-x)^4 = x^4$). График проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(-1, 1)$. Ветви графика направлены вверх.

Функция $y = x^3$ является степенной функцией с нечетным показателем. Её график (кубическая парабола) симметричен относительно начала координат, так как функция нечетная ($(-x)^3 = -x^3$). График проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

Найдем точки пересечения этих двух графиков, решив уравнение $x^4 = x^3$:
$x^4 - x^3 = 0$
$x^3(x - 1) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x=0$, то $y = 0^3 = 0$.
Если $x=1$, то $y = 1^3 = 1$.
Следовательно, графики пересекаются в точках $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

а)

Чтобы сравнить значения функций на заданных промежутках, рассмотрим их поведение между и за точками пересечения.

На промежутке $(0; 1)$, возьмем для примера точку $x = 0,5$:
Для $y = x^3$: $y = (0,5)^3 = 0,125$.
Для $y = x^4$: $y = (0,5)^4 = 0,0625$.
Поскольку $0,125 > 0,0625$, на промежутке $(0; 1)$ график функции $y = x^3$ лежит выше графика $y = x^4$, то есть $x^3 > x^4$.

На промежутке $(1; +\infty)$, возьмем для примера точку $x = 2$:
Для $y = x^3$: $y = 2^3 = 8$.
Для $y = x^4$: $y = 2^4 = 16$.
Поскольку $16 > 8$, на промежутке $(1; +\infty)$ график функции $y = x^4$ лежит выше графика $y = x^3$, то есть $x^4 > x^3$.

Ответ: На промежутке $(0; 1)$ значения функции $y=x^3$ больше значений функции $y=x^4$. На промежутке $(1; +\infty)$ значения функции $y=x^4$ больше значений функции $y=x^3$.

б)

Для функции $y = x^4$:
- Значения больше 0 ($y > 0$): так как четная степень любого действительного числа, кроме нуля, положительна, то $x^4 > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Значения меньше 0 ($y < 0$): неравенство $x^4 < 0$ не имеет решений в действительных числах.
- Значения больше 1 ($y > 1$): неравенство $x^4 > 1$ равносильно $|x| > 1$, что соответствует $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.
- Значения меньше 1 ($y < 1$): неравенство $x^4 < 1$ равносильно $|x| < 1$, что соответствует $x \in (-1; 1)$.

Для функции $y = x^3$:
- Значения больше 0 ($y > 0$): неравенство $x^3 > 0$ выполняется при $x > 0$, то есть $x \in (0; +\infty)$.
- Значения меньше 0 ($y < 0$): неравенство $x^3 < 0$ выполняется при $x < 0$, то есть $x \in (-\infty; 0)$.
- Значения больше 1 ($y > 1$): неравенство $x^3 > 1$ выполняется при $x > 1$, то есть $x \in (1; +\infty)$.
- Значения меньше 1 ($y < 1$): неравенство $x^3 < 1$ выполняется при $x < 1$, то есть $x \in (-\infty; 1)$.

Ответ: Для $y=x^4$: $y>0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; $y<0$ - нет решений; $y>1$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$; $y<1$ при $x \in (-1; 1)$.
Для $y=x^3$: $y>0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y>1$ при $x \in (1; +\infty)$; $y<1$ при $x \in (-\infty; 1)$.

в)

Вопрос заключается в том, существуют ли значения $x$, для которых выполняется неравенство $x^3 > x^4$.
$x^3 - x^4 > 0$
$x^3(1 - x) > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Нули левой части: $x=0$ и $x=1$.
Разобьем числовую ось на интервалы $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$ и определим знак выражения $x^3(1 - x)$ в каждом из них.
- Если $x<0$, то $x^3 < 0$ и $(1-x) > 0$, произведение отрицательно.
- Если $0 < x < 1$, то $x^3 > 0$ и $(1-x) > 0$, произведение положительно.
- Если $x > 1$, то $x^3 > 0$ и $(1-x) < 0$, произведение отрицательно.
Неравенство выполняется на интервале $(0; 1)$.

Ответ: Да, существуют. Это все значения $x$ из промежутка $(0; 1)$.

г)

Для определения промежутков возрастания и убывания функций можно использовать их производные.

Для функции $y = x^4$:
Производная $y' = (x^4)' = 4x^3$.
Функция возрастает, когда $y' > 0 \implies 4x^3 > 0 \implies x > 0$.
Функция убывает, когда $y' < 0 \implies 4x^3 < 0 \implies x < 0$.
В точке $x=0$ производная равна нулю, это точка минимума.
Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Для функции $y = x^3$:
Производная $y' = (x^3)' = 3x^2$.
Производная $y' = 3x^2 \ge 0$ для всех действительных $x$. Она равна нулю только в точке $x=0$, но не меняет свой знак при переходе через эту точку. Это означает, что функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения.
Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$ и не имеет промежутков убывания.

Ответ: Функция $y=x^4$ убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Функция $y=x^3$ возрастает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.

230. В одной системе координат с единичными отрезками 10 см на интервале (-1; 1) постройте графики функций $y = x$, $y = x^2$, $y = x^3$, $y = x^4$.

Для построения графиков функций на интервале $(-1; 1)$ в одной системе координат с единичным отрезком 10 см, проанализируем каждую функцию, определим ее ключевые точки и особенности поведения.

Это линейная функция, ее график — прямая линия. Является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. Ключевые точки на заданном интервале: $(-1; -1)$, $(0; 0)$ и $(1; 1)$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх. Функция является четной, то есть $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$, поэтому ее график симметричен относительно оси ординат (OY). Ключевые точки: $(-1; 1)$, $(0; 0)$ и $(1; 1)$.

Это кубическая функция, ее график — кубическая парабола. Функция является нечетной, то есть $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. Ключевые точки: $(-1; -1)$, $(0; 0)$ и $(1; 1)$.

Это степенная функция. Ее график похож на параболу $y=x^2$, но вблизи нуля ($x \approx 0$) он более "плоский" и ближе прижат к оси абсцисс, а при приближении $x$ к 1 и -1 растет быстрее. Функция является четной, $f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x)$, и ее график симметричен относительно оси OY. Ключевые точки: $(-1; 1)$, $(0; 0)$ и $(1; 1)$.

Для более точного построения и сравнения функций составим таблицу их значений:

На основе анализа и таблицы значений построим графики в одной системе координат. Важно отметить взаимное расположение кривых:

• На интервале $(0; 1)$ чем больше показатель степени $n$, тем ниже расположен график функции $y=x^n$. Таким образом, $x > x^2 > x^3 > x^4$.
• На интервале $(-1; 0)$ нечетные функции отрицательны ($x < x^3$), а четные — положительны ($x^4 < x^2$). Общее соотношение: $x < x^3 < x^4 < x^2$.

Все четыре графика пересекаются в точках $(0;0)$ и $(1;1)$.

Ответ:

Графики функций $y = x$, $y = x^2$, $y = x^3$ и $y = x^4$ построены на интервале $(-1; 1)$ в одной системе координат, как показано на рисунке выше. Все графики проходят через точки $(0;0)$ и $(1;1)$. Их взаимное расположение зависит от знака $x$: на интервале $(0;1)$ выполняется $x > x^2 > x^3 > x^4$, а на интервале $(-1;0)$ справедливо $x < x^3 < x^4 < x^2$. Графики $y=x^2$ и $y=x^4$ симметричны относительно оси OY, а графики $y=x$ и $y=x^3$ — относительно начала координат.

231. Сравните значения функций $y = x$ и $y = x^5$ при значениях аргумента:

а) $0 < x < 1$;

б) $x > 1$;

в) $-1 < x < 0$;

г) $x < -1$.

Для того чтобы сравнить значения функций $y=x$ и $y=x^5$, необходимо определить, какое из выражений больше на заданных промежутках. Это эквивалентно определению знака их разности: $x^5 - x$.

Разложим разность на множители: $x^5 - x = x(x^4 - 1) = x(x^2 - 1)(x^2 + 1) = x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$.

Выражение $(x^2 + 1)$ всегда положительно при любом действительном $x$. Таким образом, знак разности $x^5 - x$ зависит от знаков трех множителей: $x$, $(x - 1)$ и $(x + 1)$.

• Если $x^5 - x > 0$, то $x^5 > x$.
• Если $x^5 - x < 0$, то $x^5 < x$.
• Если $x^5 - x = 0$, то $x^5 = x$ (это происходит при $x = -1, x = 0, x = 1$).

Рассмотрим каждый случай отдельно, используя метод интервалов.

а) $0 < x < 1$
На этом интервале выберем пробное значение, например, $x=0.5$.
Определим знаки множителей:

• $x$ - положительный (+)
• $(x - 1)$ - отрицательный (-)
• $(x + 1)$ - положительный (+)

Знак всей разности $x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$ будет $(+) \cdot (-) \cdot (+) \cdot (+) = (-)$.
Так как разность $x^5 - x$ отрицательна, то $x^5 < x$.
Ответ: На промежутке $0 < x < 1$ значение функции $y=x^5$ меньше значения функции $y=x$, то есть $x^5 < x$.

б) $x > 1$
На этом интервале выберем пробное значение, например, $x=2$.
Определим знаки множителей:

• $x$ - положительный (+)
• $(x - 1)$ - положительный (+)
• $(x + 1)$ - положительный (+)

Знак всей разности $x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$ будет $(+) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (+) = (+)$.
Так как разность $x^5 - x$ положительна, то $x^5 > x$.
Ответ: На промежутке $x > 1$ значение функции $y=x^5$ больше значения функции $y=x$, то есть $x^5 > x$.

в) $-1 < x < 0$
На этом интервале выберем пробное значение, например, $x=-0.5$.
Определим знаки множителей:

• $x$ - отрицательный (-)
• $(x - 1)$ - отрицательный (-)
• $(x + 1)$ - положительный (+)

Знак всей разности $x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$ будет $(-) \cdot (-) \cdot (+) \cdot (+) = (+)$.
Так как разность $x^5 - x$ положительна, то $x^5 > x$.
Ответ: На промежутке $-1 < x < 0$ значение функции $y=x^5$ больше значения функции $y=x$, то есть $x^5 > x$.

г) $x < -1$
На этом интервале выберем пробное значение, например, $x=-2$.
Определим знаки множителей:

• $x$ - отрицательный (-)
• $(x - 1)$ - отрицательный (-)
• $(x + 1)$ - отрицательный (-)

Знак всей разности $x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$ будет $(-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (+) = (-)$.
Так как разность $x^5 - x$ отрицательна, то $x^5 < x$.
Ответ: На промежутке $x < -1$ значение функции $y=x^5$ меньше значения функции $y=x$, то есть $x^5 < x$.

232. Сравните значения функций $y = x^4$ и $y = x^6$ при значениях аргумента:

а) $x > 1$;

б) $x < -1$;

в) $-1 < x < 0$;

г) $0 < x < 1$.

Чтобы сравнить значения функций $y=x^4$ и $y=x^6$ для заданных значений аргумента $x$, мы проанализируем знак их разности: $x^6 - x^4$.

Разложим разность на множители: $x^6 - x^4 = x^4(x^2 - 1)$.

Множитель $x^4$ всегда неотрицателен ($x^4 \ge 0$), так как любая четная степень действительного числа неотрицательна. На всех рассматриваемых интервалах $x \ne 0$, поэтому $x^4 > 0$. Это означает, что знак разности $x^6 - x^4$ будет таким же, как и знак выражения $(x^2 - 1)$.

а) $x > 1$

Если $x > 1$, то $x^2 > 1$, и, следовательно, выражение $x^2 - 1$ положительно. Поскольку $x^4 > 0$ и $x^2 - 1 > 0$, их произведение $x^4(x^2-1)$ также положительно. Таким образом, $x^6 - x^4 > 0$, что означает $x^6 > x^4$.

Ответ: При $x > 1$ значение функции $y=x^6$ больше значения функции $y=x^4$, то есть $x^6 > x^4$.

б) $x < -1$

Если $x < -1$, то $|x| > 1$. При возведении в квадрат получаем $x^2 = |x|^2 > 1$, значит, выражение $x^2 - 1$ положительно. Поскольку $x^4 > 0$ и $x^2 - 1 > 0$, их произведение $x^4(x^2-1)$ положительно. Таким образом, $x^6 - x^4 > 0$, что означает $x^6 > x^4$.

Ответ: При $x < -1$ значение функции $y=x^6$ больше значения функции $y=x^4$, то есть $x^6 > x^4$.

в) $-1 < x < 0$

Если $-1 < x < 0$, то $0 < |x| < 1$. При возведении в квадрат получаем $x^2 = |x|^2 < 1$, значит, выражение $x^2 - 1$ отрицательно. Поскольку $x^4 > 0$, а $x^2 - 1 < 0$, их произведение $x^4(x^2-1)$ отрицательно. Таким образом, $x^6 - x^4 < 0$, что означает $x^6 < x^4$.

Ответ: При $-1 < x < 0$ значение функции $y=x^6$ меньше значения функции $y=x^4$, то есть $x^6 < x^4$.

г) $0 < x < 1$

Если $0 < x < 1$, то $x^2 < 1$, и, следовательно, выражение $x^2 - 1$ отрицательно. Поскольку $x^4 > 0$, а $x^2 - 1 < 0$, их произведение $x^4(x^2-1)$ отрицательно. Таким образом, $x^6 - x^4 < 0$, что означает $x^6 < x^4$.

Ответ: При $0 < x < 1$ значение функции $y=x^6$ меньше значения функции $y=x^4$, то есть $x^6 < x^4$.

233. Дана функция $y = x^{12}$. Сравните:

a) $y(1)$ и $y(2)$;

б) $y(-2)$ и $y(-1)$;

в) $y(-3)$ и $y(3)$;

г) $y(0)$ и $y(5)$.

Для решения задачи проанализируем свойства данной функции $y = x^{12}$.

• Четность функции. Показатель степени 12 — четное число. Это означает, что функция является четной, то есть $y(-x) = (-x)^{12} = x^{12} = y(x)$ для любого значения $x$. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Промежутки монотонности. Степенная функция с четным натуральным показателем убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Используя эти свойства, сравним значения функции в заданных точках.

а) Сравниваем $y(1)$ и $y(2)$.

Аргументы $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$ принадлежат промежутку $[0, +\infty)$, на котором функция возрастает. Так как $1 < 2$, то и значения функции в этих точках находятся в том же соотношении: $y(1) < y(2)$.

Для проверки можно вычислить значения: $y(1) = 1^{12} = 1$ и $y(2) = 2^{12} = 4096$. Действительно, $1 < 4096$.

Ответ: $y(1) < y(2)$.

б) Сравниваем $y(-2)$ и $y(-1)$.

Аргументы $x_1 = -2$ и $x_2 = -1$ принадлежат промежутку $(-\infty, 0]$, на котором функция убывает. Так как $-2 < -1$, то для убывающей функции значения будут находиться в обратном соотношении: $y(-2) > y(-1)$.

Проверим вычислением: $y(-2) = (-2)^{12} = 2^{12} = 4096$ и $y(-1) = (-1)^{12} = 1^{12} = 1$. Действительно, $4096 > 1$.

Ответ: $y(-2) > y(-1)$.

в) Сравниваем $y(-3)$ и $y(3)$.

Так как функция $y = x^{12}$ является четной, то по определению для любого $x$ выполняется $y(-x) = y(x)$. При $x=3$ получаем равенство $y(-3) = y(3)$.

Ответ: $y(-3) = y(3)$.

г) Сравниваем $y(0)$ и $y(5)$.

Аргументы $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$ принадлежат промежутку $[0, +\infty)$, на котором функция возрастает. Поскольку $0 < 5$, то и $y(0) < y(5)$.

Проверим вычислением: $y(0) = 0^{12} = 0$ и $y(5) = 5^{12}$. Так как $5^{12}$ — большое положительное число, очевидно, что $0 < 5^{12}$.

Ответ: $y(0) < y(5)$.

234. Дана функция $y = x^9$. Сравните:

а) $y(-1)$ и $y(1)$;

б) $y(-2)$ и $y(0)$;

в) $y(4)$ и $y(-5)$;

г) $y(6)$ и $y(3)$.

Данная функция $y = x^9$ является степенной функцией с нечетным натуральным показателем степени. Основное свойство таких функций — они являются строго возрастающими на всей области определения (для всех действительных чисел). Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Формально, если $x_2 > x_1$, то и $y(x_2) > y(x_1)$. Воспользуемся этим свойством для решения задачи.

а) $y(-1)$ и $y(1)$

Сравниваем аргументы: $-1$ и $1$. Так как $-1 < 1$ и функция $y=x^9$ является возрастающей, то из этого следует, что $y(-1) < y(1)$. Для проверки можно вычислить значения напрямую: $y(-1) = (-1)^9 = -1$, а $y(1) = 1^9 = 1$. Поскольку $-1 < 1$, наше сравнение верно.
Ответ: $y(-1) < y(1)$

б) $y(-2)$ и $y(0)$

Сравниваем аргументы: $-2$ и $0$. Так как $-2 < 0$ и функция $y=x^9$ является возрастающей, то $y(-2) < y(0)$. Для проверки: $y(-2) = (-2)^9 = -512$, а $y(0) = 0^9 = 0$. Так как $-512 < 0$, сравнение верно.
Ответ: $y(-2) < y(0)$

в) $y(4)$ и $y(-5)$

Сравниваем аргументы: $4$ и $-5$. Так как $4 > -5$ и функция $y=x^9$ является возрастающей, то $y(4) > y(-5)$. Альтернативный способ: $y(4) = 4^9$ — это положительное число. $y(-5) = (-5)^9$ — это отрицательное число, так как отрицательное основание возводится в нечетную степень. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного, следовательно, $y(4) > y(-5)$.
Ответ: $y(4) > y(-5)$

г) $y(6)$ и $y(3)$

Сравниваем аргументы: $6$ и $3$. Так как $6 > 3$ и функция $y=x^9$ является возрастающей, то $y(6) > y(3)$. Оба значения, $y(6)=6^9$ и $y(3)=3^9$, положительны. Для положительных оснований, при возведении в одну и ту же положительную степень, большее основание даст больший результат.
Ответ: $y(6) > y(3)$

235. Сравните с единицей значения функции $y = x^{18}$:

а) $y(0,5)$;

б) $y(\frac{1}{3})$;

в) $y(-2)$;

г) $y(6)$;

д) $y(0)$;

е) $y(-1)$.

а) y(0,5)

Подставляем $x = 0,5$ в функцию $y = x^{18}$: получаем $y(0,5) = (0,5)^{18}$. Поскольку основание степени $0,5$ удовлетворяет неравенству $0 < 0,5 < 1$, то при возведении его в положительную степень (в данном случае 18) результат будет меньше 1. Таким образом, $y(0,5) < 1$.
Ответ: значение функции меньше единицы.

б) y(1/3)

Подставляем $x = \frac{1}{3}$ в функцию $y = x^{18}$: получаем $y(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^{18}$. Поскольку основание степени $\frac{1}{3}$ удовлетворяет неравенству $0 < \frac{1}{3} < 1$, то при возведении его в положительную степень результат будет меньше 1. Таким образом, $y(\frac{1}{3}) < 1$.
Ответ: значение функции меньше единицы.

в) y(-2)

Подставляем $x = -2$ в функцию $y = x^{18}$: получаем $y(-2) = (-2)^{18}$. Показатель степени 18 является четным числом, поэтому при возведении отрицательного числа в эту степень результат будет положительным: $(-2)^{18} = 2^{18}$. Так как основание $2$ больше 1, то при возведении его в степень 18 результат будет больше 1. Таким образом, $y(-2) > 1$.
Ответ: значение функции больше единицы.

г) y(6)

Подставляем $x = 6$ в функцию $y = x^{18}$: получаем $y(6) = 6^{18}$. Так как основание $6$ больше 1, то при возведении его в положительную степень 18 результат будет больше 1. Таким образом, $y(6) > 1$.
Ответ: значение функции больше единицы.

д) y(0)

Подставляем $x = 0$ в функцию $y = x^{18}$: получаем $y(0) = 0^{18} = 0$. Сравнивая полученное значение с единицей, получаем $0 < 1$. Таким образом, $y(0) < 1$.
Ответ: значение функции меньше единицы.

е) y(-1)

Подставляем $x = -1$ в функцию $y = x^{18}$: получаем $y(-1) = (-1)^{18}$. Поскольку показатель степени 18 является четным числом, результат возведения числа -1 в эту степень равен 1. Таким образом, $y(-1) = 1$.
Ответ: значение функции равно единице.