Страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

208. a) Возрастает ли на промежутке $[0; +\infty)$ функция $y = x^n$?

б) Дана функция $y = x^n$. К чему стремится $y$ при $x \to +\infty$?

а) Чтобы определить, является ли функция возрастающей на промежутке, необходимо исследовать знак ее производной на этом промежутке. Если производная неотрицательна на всем промежутке и не обращается в ноль на каком-либо его под-интервале, то функция возрастает.

Рассмотрим функцию $y = x^n$. Будем считать, что $n$ — натуральное число, то есть $n \in \{1, 2, 3, ...\}$.

Найдем производную этой функции:

$y' = (x^n)' = n \cdot x^{n-1}$

Теперь проанализируем знак производной на промежутке $[0; +\infty)$.

1. Если $n = 1$, то функция имеет вид $y = x$. Ее производная $y' = 1$. Так как производная всегда положительна ($1 > 0$), функция возрастает на всей числовой прямой, включая промежуток $[0; +\infty)$.

2. Если $n > 1$ (то есть $n \ge 2$), то для любого $x$ из интервала $(0; +\infty)$ мы имеем $x > 0$. Поскольку $n-1 \ge 1$, то и $x^{n-1} > 0$. Так как $n$ — натуральное число больше 1, оно также положительно. Следовательно, производная $y' = n \cdot x^{n-1}$ является произведением двух положительных чисел и, значит, сама положительна: $y' > 0$ для всех $x \in (0; +\infty)$.

В точке $x=0$ производная равна $y'(0) = n \cdot 0^{n-1} = 0$.

Таким образом, на промежутке $[0; +\infty)$ производная функции $y'$ неотрицательна ($y' \ge 0$) и обращается в ноль только в одной точке $x=0$. Это означает, что функция $y=x^n$ строго возрастает на всем промежутке $[0; +\infty)$.

Ответ: да, функция возрастает.

б) Нам нужно определить предел функции $y = x^n$ при $x$, стремящемся к плюс бесконечности ($x \to +\infty$).

Запишем это в виде предела:

$\lim_{x \to +\infty} x^n$

Снова будем считать, что $n$ — натуральное число ($n \ge 1$).

Когда переменная $x$ принимает сколь угодно большие положительные значения, ее возведение в любую натуральную степень $n$ также дает сколь угодно большие положительные значения. Можно представить $x^n$ как произведение $n$ множителей, каждый из которых стремится к $+\infty$:

$x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot \dots \cdot x}_{n \text{ раз}}$

Если $x \to +\infty$, то и все произведение будет стремиться к $+\infty$.

Следовательно, предел функции $y = x^n$ при $x \to +\infty$ равен плюс бесконечности.

$\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty$ (при $n \in \mathbb{N}$)

Ответ: $y$ стремится к $+\infty$.

209. Дана функция $y = x^3 (x \ge 0)$.

a) Назовите зависимую и независимую переменные.

б) Какова область значений данной функции?

в) Вычислите для данной функции значения $y(0), y(1), y(2), y(3), y(0.5), y\left(\frac{1}{3}\right), y\left(2\frac{1}{2}\right)$. Решение оформите в виде таблицы.

а) В функциональной зависимости вида $y = f(x)$, переменная, значение которой выбирается произвольно из области определения, называется независимой переменной или аргументом. В данном случае это переменная $x$. Переменная, значение которой вычисляется на основе значения аргумента, называется зависимой переменной или функцией. В данном случае это переменная $y$.

Ответ: независимая переменная – $x$, зависимая переменная – $y$.

б) Область значений функции – это множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная $y$ при всех возможных значениях независимой переменной $x$ из области определения. Дана функция $y = x^3$ с областью определения $x \ge 0$. Это означает, что $x$ может принимать любые неотрицательные значения.
Функция $y = x^3$ является возрастающей. Это значит, что чем больше значение $x$, тем больше значение $y$. Наименьшее значение $x$ в заданной области определения равно 0. При $x = 0$ значение функции $y = 0^3 = 0$. Поскольку $x$ может быть сколь угодно большим положительным числом ($x \rightarrow +\infty$), значение $y = x^3$ также будет сколь угодно большим положительным числом ($y \rightarrow +\infty$). Таким образом, область значений функции состоит из всех неотрицательных чисел.

Ответ: область значений функции $y \ge 0$, или в виде промежутка $[0; +\infty)$.

в) Для вычисления значений функции необходимо подставить заданные значения аргумента $x$ в формулу $y = x^3$.

При $x = 0$: $y(0) = 0^3 = 0$
При $x = 1$: $y(1) = 1^3 = 1$
При $x = 2$: $y(2) = 2^3 = 8$
При $x = 3$: $y(3) = 3^3 = 27$
При $x = 0,5$: $y(0,5) = (0,5)^3 = 0,125$
При $x = \frac{1}{3}$: $y\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$
При $x = 2\frac{1}{2}$: сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$. Тогда $y\left(\frac{5}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8} = 15,625$.

Оформим решение в виде таблицы:

Ответ: вычисленные значения функции представлены в таблице выше.

$(3) (-2)$

210. Дана функция $y = x^4 (x \ge 0)$. Заполните таблицу значений функции при $x$, равном $0; 1; 2; 3; 0,5; \frac{1}{2}; 0,25; 1,5$.

Для того чтобы заполнить таблицу значений для функции $y = x^4$ при $x \ge 0$, необходимо поочередно подставить каждое из заданных значений $x$ в формулу функции и вычислить соответствующее значение $y$.

При x = 0
Подставляем $x = 0$ в функцию: $y = 0^4 = 0 \times 0 \times 0 \times 0 = 0$.
Ответ: 0

При x = 1
Подставляем $x = 1$ в функцию: $y = 1^4 = 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$.
Ответ: 1

При x = 2
Подставляем $x = 2$ в функцию: $y = 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.
Ответ: 16

При x = 3
Подставляем $x = 3$ в функцию: $y = 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$.
Ответ: 81

При x = 0,5
Подставляем $x = 0,5$ в функцию: $y = (0,5)^4 = 0,5 \times 0,5 \times 0,5 \times 0,5 = 0,25 \times 0,25 = 0,0625$.
Можно также представить $0,5$ как дробь $\frac{1}{2}$: $y = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$.
Ответ: 0,0625

При x = $\frac{1}{2}$
Это значение совпадает с предыдущим ($0,5 = \frac{1}{2}$), поэтому результат будет тем же.
Подставляем $x = \frac{1}{2}$ в функцию: $y = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$

При x = 0,25
Представим $0,25$ как дробь $\frac{1}{4}$.
Подставляем $x = \frac{1}{4}$ в функцию: $y = (\frac{1}{4})^4 = \frac{1^4}{4^4} = \frac{1}{256}$.
В десятичной форме: $y = (0,25)^4 = (0,25^2)^2 = (0,0625)^2 = 0,00390625$.
Ответ: 0,00390625 (или $\frac{1}{256}$)

При x = 1,5
Представим $1,5$ как дробь $\frac{3}{2}$.
Подставляем $x = \frac{3}{2}$ в функцию: $y = (\frac{3}{2})^4 = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16}$.
В десятичной форме: $y = (1,5)^4 = (1,5^2)^2 = (2,25)^2 = 5,0625$.
Ответ: 5,0625 (или $\frac{81}{16}$)

Итоговая таблица значений:

211. Дана функция $y = x^5$ $(x \ge 0)$. Верно ли равенство:

а) $y(1) = 5$;

б) $y(1) = 1$;

в) $y(2) = 32$;

г) $y(0) = 0$?

Для проверки верности каждого равенства необходимо подставить значение аргумента $x$ из скобок в данную функцию $y = x^5$ и вычислить соответствующее значение $y$.

а) Проверяем равенство $y(1) = 5$.
Подставляем $x = 1$ в уравнение функции:
$y(1) = 1^5 = 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$.
Результат вычисления $y(1) = 1$, а в равенстве указано значение 5. Поскольку $1 \ne 5$, равенство неверно.
Ответ: неверно.

б) Проверяем равенство $y(1) = 1$.
Подставляем $x = 1$ в уравнение функции:
$y(1) = 1^5 = 1$.
Результат вычисления $y(1) = 1$ совпадает со значением в равенстве. Поскольку $1 = 1$, равенство верно.
Ответ: верно.

в) Проверяем равенство $y(2) = 32$.
Подставляем $x = 2$ в уравнение функции:
$y(2) = 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.
Результат вычисления $y(2) = 32$ совпадает со значением в равенстве. Поскольку $32 = 32$, равенство верно.
Ответ: верно.

г) Проверяем равенство $y(0) = 0$.
Подставляем $x = 0$ в уравнение функции:
$y(0) = 0^5 = 0$.
Результат вычисления $y(0) = 0$ совпадает со значением в равенстве. Поскольку $0 = 0$, равенство верно.
Ответ: верно.

212. Составьте таблицу значений объёма куба, если длина его ребра (в метрах) принимает значения от 0,2 до 2 через 0,2.

Для решения данной задачи необходимо вычислить объём куба для ряда значений длины его ребра. Объём куба ($V$) вычисляется по формуле: $V = a^3$, где $a$ – длина ребра куба.

В условии сказано, что длина ребра $a$ (в метрах) принимает значения от 0,2 до 2 с шагом 0,2. Это означает, что мы должны рассмотреть следующие значения для $a$: 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2,0.

Теперь последовательно вычислим объём $V$ (в кубических метрах, м³) для каждого из этих значений $a$:

При $a = 0,2$ м, объём $V = (0,2)^3 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,008$ м³.

При $a = 0,4$ м, объём $V = (0,4)^3 = 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4 = 0,064$ м³.

При $a = 0,6$ м, объём $V = (0,6)^3 = 0,6 \cdot 0,6 \cdot 0,6 = 0,216$ м³.

При $a = 0,8$ м, объём $V = (0,8)^3 = 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 = 0,512$ м³.

При $a = 1,0$ м, объём $V = (1,0)^3 = 1,0 \cdot 1,0 \cdot 1,0 = 1,000$ м³.

При $a = 1,2$ м, объём $V = (1,2)^3 = 1,44 \cdot 1,2 = 1,728$ м³.

При $a = 1,4$ м, объём $V = (1,4)^3 = 1,96 \cdot 1,4 = 2,744$ м³.

При $a = 1,6$ м, объём $V = (1,6)^3 = 2,56 \cdot 1,6 = 4,096$ м³.

При $a = 1,8$ м, объём $V = (1,8)^3 = 3,24 \cdot 1,8 = 5,832$ м³.

При $a = 2,0$ м, объём $V = (2,0)^3 = 4,0 \cdot 2,0 = 8,000$ м³.

Сведем полученные данные в итоговую таблицу, как того требует условие задачи.

Ответ:

213. а) Дана функция $y = x^4 (x \ge 0)$. При каких значениях $x$ значения функции равны 0; 1; 16; 81?

б) Дана функция $y = x^3 (x \ge 0)$. При каких значениях $x$ значения функции равны 0; 1; 8; 64?

а) Дана функция $y = x^4$ при условии $x \ge 0$. Чтобы найти значения $x$, при которых функция принимает значения 0, 1, 16 и 81, необходимо для каждого из этих значений $y$ решить уравнение $x^4 = y$ с учётом условия $x \ge 0$.

1. При $y=0$:
$x^4 = 0$
Решением является $x=0$. Это значение удовлетворяет условию $x \ge 0$.

2. При $y=1$:
$x^4 = 1$
Действительными корнями являются $x=1$ и $x=-1$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только $x=1$.

3. При $y=16$:
$x^4 = 16$
Поскольку $2^4 = 16$, действительными корнями являются $x=2$ и $x=-2$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только $x=2$.

4. При $y=81$:
$x^4 = 81$
Поскольку $3^4 = 81$, действительными корнями являются $x=3$ и $x=-3$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только $x=3$.

Ответ: значения функции равны 0, 1, 16, 81 при $x$ равных соответственно 0, 1, 2, 3.

б) Дана функция $y = x^3$ при условии $x \ge 0$. Чтобы найти значения $x$, при которых функция принимает значения 0, 1, 8 и 64, необходимо для каждого из этих значений $y$ решить уравнение $x^3 = y$ с учётом условия $x \ge 0$.

1. При $y=0$:
$x^3 = 0$
Решением является $x=0$. Это значение удовлетворяет условию $x \ge 0$.

2. При $y=1$:
$x^3 = 1$
Единственным действительным корнем является $x=1$. Это значение удовлетворяет условию $x \ge 0$.

3. При $y=8$:
$x^3 = 8$
Поскольку $2^3 = 8$, единственным действительным корнем является $x=2$. Это значение удовлетворяет условию $x \ge 0$.

4. При $y=64$:
$x^3 = 64$
Поскольку $4^3 = 64$, единственным действительным корнем является $x=4$. Это значение удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Ответ: значения функции равны 0, 1, 8, 64 при $x$ равных соответственно 0, 1, 2, 4.

214. При каких значениях $x$ $(x \ge 0)$ выполняется неравенство

$y_1(x) < y_2(x)$, если:

а) $y_1(x) = x^6$, $y_2(x) = x^3$;

б) $y_1(x) = x^2$, $y_2(x) = x^5$?

а) Требуется найти значения $x \ge 0$, для которых выполняется неравенство $y_1(x) < y_2(x)$, где $y_1(x) = x^6$ и $y_2(x) = x^3$.

Запишем неравенство:

$x^6 < x^3$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^6 - x^3 < 0$

Вынесем за скобки общий множитель $x^3$:

$x^3(x^3 - 1) < 0$

Рассмотрим данное неравенство при условии $x \ge 0$.

1. Если $x=0$, то неравенство принимает вид $0 < 0$, что является ложным утверждением.

2. Если $x > 0$, то множитель $x^3$ строго положителен. Для того чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы второй множитель был отрицательным:

$x^3 - 1 < 0$

$x^3 < 1$

Так как функция $y=x^3$ является возрастающей, мы можем извлечь кубический корень из обеих частей неравенства, не меняя его знака:

$x < 1$

Совмещая полученное условие $x < 1$ с рассмотренным случаем $x > 0$, получаем итоговое решение.

Ответ: $0 < x < 1$.

б) Требуется найти значения $x \ge 0$, для которых выполняется неравенство $y_1(x) < y_2(x)$, где $y_1(x) = x^2$ и $y_2(x) = x^5$.

Запишем неравенство:

$x^2 < x^5$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 - x^5 < 0$

Вынесем за скобки общий множитель $x^2$:

$x^2(1 - x^3) < 0$

Рассмотрим данное неравенство при условии $x \ge 0$.

1. Если $x=0$, то неравенство принимает вид $0 < 0$, что является ложным утверждением.

2. Если $x > 0$, то множитель $x^2$ строго положителен. Для того чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы второй множитель был отрицательным:

$1 - x^3 < 0$

$1 < x^3$

Извлекая кубический корень из обеих частей неравенства, получаем:

$1 < x$ или $x > 1$.

Это и есть решение.

Ответ: $x > 1$.