Номер 214, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

214. При каких значениях $x$ $(x \ge 0)$ выполняется неравенство

$y_1(x) < y_2(x)$, если:

а) $y_1(x) = x^6$, $y_2(x) = x^3$;

б) $y_1(x) = x^2$, $y_2(x) = x^5$?

а) Требуется найти значения $x \ge 0$, для которых выполняется неравенство $y_1(x) < y_2(x)$, где $y_1(x) = x^6$ и $y_2(x) = x^3$.

Запишем неравенство:

$x^6 < x^3$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^6 - x^3 < 0$

Вынесем за скобки общий множитель $x^3$:

$x^3(x^3 - 1) < 0$

Рассмотрим данное неравенство при условии $x \ge 0$.

1. Если $x=0$, то неравенство принимает вид $0 < 0$, что является ложным утверждением.

2. Если $x > 0$, то множитель $x^3$ строго положителен. Для того чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы второй множитель был отрицательным:

$x^3 - 1 < 0$

$x^3 < 1$

Так как функция $y=x^3$ является возрастающей, мы можем извлечь кубический корень из обеих частей неравенства, не меняя его знака:

$x < 1$

Совмещая полученное условие $x < 1$ с рассмотренным случаем $x > 0$, получаем итоговое решение.

Ответ: $0 < x < 1$.

б) Требуется найти значения $x \ge 0$, для которых выполняется неравенство $y_1(x) < y_2(x)$, где $y_1(x) = x^2$ и $y_2(x) = x^5$.

Запишем неравенство:

$x^2 < x^5$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 - x^5 < 0$

Вынесем за скобки общий множитель $x^2$:

$x^2(1 - x^3) < 0$

Рассмотрим данное неравенство при условии $x \ge 0$.

1. Если $x=0$, то неравенство принимает вид $0 < 0$, что является ложным утверждением.

2. Если $x > 0$, то множитель $x^2$ строго положителен. Для того чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы второй множитель был отрицательным:

$1 - x^3 < 0$

$1 < x^3$

Извлекая кубический корень из обеих частей неравенства, получаем:

$1 < x$ или $x > 1$.

Это и есть решение.

Ответ: $x > 1$.