Номер 216, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

216. Относительно чего симметричен график функции $y = x^n$:

а) при $n$ чётном;

б) при $n$ нечётном?

а) при n чётном

Чтобы определить симметрию графика функции $y = f(x) = x^n$, необходимо исследовать её на чётность. Функция называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

Рассмотрим случай, когда $n$ — чётное натуральное число. Найдём значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (-x)^n$

Поскольку показатель степени $n$ является чётным числом, то $(-1)^n = 1$. Таким образом, мы получаем:

$f(-x) = (-1)^n \cdot x^n = 1 \cdot x^n = x^n = f(x)$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной. Следовательно, её график симметричен относительно оси ординат. Примерами таких функций являются $y = x^2$ (парабола), $y = x^4$ и т.д.

Ответ: при $n$ чётном график функции $y = x^n$ симметричен относительно оси ординат.

б) при n нечётном

Функция называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки $(0, 0)$).

Рассмотрим случай, когда $n$ — нечётное натуральное число. Найдём значение функции $f(x) = x^n$ в точке $-x$:

$f(-x) = (-x)^n$

Поскольку показатель степени $n$ является нечётным числом, то $(-1)^n = -1$. Таким образом, мы получаем:

$f(-x) = (-1)^n \cdot x^n = -1 \cdot x^n = -x^n = -f(x)$

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной. Следовательно, её график симметричен относительно начала координат. Примерами таких функций являются $y = x$ (прямая), $y = x^3$ (кубическая парабола) и т.д.

Ответ: при $n$ нечётном график функции $y = x^n$ симметричен относительно начала координат.