Страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

205. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью $v_0$, задается формулой

$v(t) = v_0 - gt$

а высота $H$ — формулой

$H(t) = H_0 + v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

где $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$ — ускорение земного притяжения, $H_0$ — начальная высота. Докажите, что:

а) функция $v(t)$ есть производная функции $H(t)$;

б) функция $H(t)$ есть первообразная функции $v(t)$.

а) Чтобы доказать, что функция $v(t)$ является производной функции $H(t)$, необходимо найти производную функции $H(t)$ по переменной $t$ и сравнить ее с функцией $v(t)$.
Функция высоты задана формулой:
$H(t) = H_0 + v_0t - \frac{gt^2}{2}$
Находим производную $H'(t)$. В этом выражении $H_0$ (начальная высота), $v_0$ (начальная скорость) и $g$ (ускорение свободного падения) являются константами, а $t$ — переменной.
Используем правила дифференцирования: производная константы равна нулю, производная $(kt)$ равна $k$, и производная $(kt^2)$ равна $2kt$.
$H'(t) = \frac{d}{dt}(H_0 + v_0t - \frac{gt^2}{2}) = (H_0)' + (v_0t)' - (\frac{g}{2}t^2)'$
$H'(t) = 0 + v_0 \cdot 1 - \frac{g}{2} \cdot 2t = v_0 - gt$
Полученное выражение для $H'(t)$ полностью совпадает с данной в условии формулой для скорости $v(t) = v_0 - gt$.
Таким образом, доказано, что функция $v(t)$ есть производная функции $H(t)$.
Ответ: Поскольку $H'(t) = (H_0 + v_0t - \frac{gt^2}{2})' = v_0 - gt$ и $v(t) = v_0 - gt$, то $v(t) = H'(t)$, что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что функция $H(t)$ является первообразной для функции $v(t)$, нужно показать, что производная от $H(t)$ равна $v(t)$.
По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, если выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.
В нашем случае нужно проверить, выполняется ли равенство $H'(t) = v(t)$.
Как было установлено в пункте а), производная функции $H(t)$ равна:
$H'(t) = v_0 - gt$
Это выражение идентично функции $v(t)$, заданной в условии.
Следовательно, так как $H'(t) = v(t)$, функция $H(t)$ является первообразной для функции $v(t)$.
Ответ: Утверждение доказано, так как из пункта а) следует, что $H'(t) = v(t)$, а это является определением первообразной.

206. Зависимость пути $s$ от времени $t$ при прямолинейном движении точки задана графически (рис. 50). Постройте график зависимости скорости $v$ от времени $t$ для $t \in [0; 2]$.

a) б) в) Рис. 50

Для нахождения зависимости скорости $v$ от времени $t$ необходимо найти производную от функции пути $s$ по времени $t$, так как скорость — это первая производная пути по времени: $v(t) = s'(t)$. Геометрически, значение скорости в каждый момент времени равно тангенсу угла наклона касательной к графику $s(t)$ в соответствующей точке.

а)

На графике а) зависимость пути от времени $s(t)$ является линейной. График представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат $(0, 0)$ и точку $(2, 4)$. Это означает, что движение является равномерным, то есть его скорость постоянна.

Скорость $v$ равна тангенсу угла наклона графика $s(t)$ к оси времени:

$v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{4\ \text{м} - 0\ \text{м}}{2\ \text{с} - 0\ \text{с}} = 2\ \text{м/с}$

Таким образом, на всем интервале времени $t \in [0; 2]$ скорость точки постоянна и равна 2 м/с.

Ответ: График зависимости скорости от времени $v(t)$ представляет собой отрезок горизонтальной прямой $v=2$, начинающийся в точке $(0, 2)$ и заканчивающийся в точке $(2, 2)$.

б)

На графике б) зависимость $s(t)$ также линейна, следовательно, движение происходит с постоянной скоростью. График представляет собой прямую, проходящую через точки $(0, 2)$ и $(2, 4)$.

Найдем скорость, вычислив тангенс угла наклона этой прямой:

$v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{4\ \text{м} - 2\ \text{м}}{2\ \text{с} - 0\ \text{с}} = \frac{2\ \text{м}}{2\ \text{с}} = 1\ \text{м/с}$

На интервале времени $t \in [0; 2]$ скорость точки постоянна и равна 1 м/с.

Ответ: График зависимости скорости от времени $v(t)$ представляет собой отрезок горизонтальной прямой $v=1$, начинающийся в точке $(0, 1)$ и заканчивающийся в точке $(2, 1)$.

в)

На графике в) зависимость $s(t)$ нелинейная. График представляет собой кривую, что указывает на неравномерное движение (скорость меняется со временем). Кривая проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(2, 4)$. Можно заметить, что эта зависимость описывается квадратичной функцией $s(t) = t^2$.

Для нахождения функции скорости $v(t)$ возьмем производную от функции пути $s(t)=t^2$ по времени $t$:

$v(t) = s'(t) = (t^2)' = 2t$

Зависимость скорости от времени является линейной, что соответствует равноускоренному движению. Для построения графика этой зависимости найдем значения скорости в начальный и конечный моменты времени на интервале $t \in [0; 2]$:

• При $t=0$, $v(0) = 2 \cdot 0 = 0$ м/с.
• При $t=2$, $v(2) = 2 \cdot 2 = 4$ м/с.

График $v(t)$ будет представлять собой отрезок прямой, соединяющий эти две точки.

Ответ: График зависимости скорости от времени $v(t)$ представляет собой отрезок прямой, выходящий из начала координат $(0, 0)$ и идущий в точку $(2, 4)$.

207. Зависимость скорости $v$ от времени $t$ при прямолинейном движении точки задана графически (рис. 51). Постройте график зависимости пути $s$ от времени $t$ для $t \in [0; 2]$.

а) График скорости $v$, м/с от времени $t$, с. Ось времени $t$ имеет деления O, 1, 2. Ось скорости $v$ имеет деления 1, 2, 3, 4. На графике изображен горизонтальный отрезок прямой линии, расположенный на уровне $v=3$ от $t=0$ до $t=2$.

б) График скорости $v$, м/с от времени $t$, с. Ось времени $t$ имеет деления O, 1, 2. Ось скорости $v$ имеет деления 1, 2, 3, 4. На графике изображен горизонтальный отрезок прямой линии, расположенный на уровне $v=2$ от $t=0$ до $t=2$.

в) График скорости $v$, м/с от времени $t$, с. Ось времени $t$ имеет деления O, 1, 2. Ось скорости $v$ имеет деления 1, 2, 3, 4. На графике изображен отрезок прямой линии, начинающийся в точке $(0, 1)$ и заканчивающийся в точке $(1.5, 4)$. Линия проходит через точки $(0.5, 2)$ и $(1, 3)$.

Рис. 51

а)

На графике а) представлена зависимость скорости от времени для равномерного прямолинейного движения, так как скорость постоянна. Из графика видно, что скорость точки $v = 3$ м/с на всем рассматриваемом промежутке времени.

Путь $s$, пройденный точкой при равномерном движении, определяется по формуле:

$s = v \cdot t$

Подставляя значение скорости, получаем уравнение зависимости пути от времени:

$s(t) = 3t$

Это линейная функция. Для построения ее графика на интервале $t \in [0; 2]$ найдем координаты начальной и конечной точек:

• При $t = 0$ с, путь $s(0) = 3 \cdot 0 = 0$ м.
• При $t = 2$ с, путь $s(2) = 3 \cdot 2 = 6$ м.

Следовательно, график зависимости пути от времени представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки с координатами (0; 0) и (2; 6).

Ответ: Зависимость пути от времени описывается формулой $s(t) = 3t$. График этой зависимости — отрезок прямой, проходящий через начало координат и точку (2; 6).

б)

На графике б) также показано равномерное прямолинейное движение, поскольку скорость точки постоянна и равна $v = 2$ м/с.

Формула для расчета пути при таком движении:

$s = v \cdot t$

Подставим известное значение скорости:

$s(t) = 2t$

Это также линейная зависимость. Для построения графика на интервале $t \in [0; 2]$ найдем координаты двух точек:

• При $t = 0$ с, путь $s(0) = 2 \cdot 0 = 0$ м.
• При $t = 2$ с, путь $s(2) = 2 \cdot 2 = 4$ м.

График зависимости пути от времени — это отрезок прямой, соединяющий точки с координатами (0; 0) и (2; 4).

Ответ: Зависимость пути от времени описывается формулой $s(t) = 2t$. График этой зависимости — отрезок прямой, проходящий через начало координат и точку (2; 4).

в)

На графике в) скорость изменяется линейно со временем, что соответствует равноускоренному прямолинейному движению. Уравнение скорости для такого движения имеет вид $v(t) = v_0 + at$, где $v_0$ — начальная скорость, а $a$ — ускорение.

Из графика определяем начальную скорость (в момент времени $t=0$): $v_0 = 1$ м/с.

Ускорение $a$ можно найти как тангенс угла наклона графика $v(t)$. Возьмем две точки на графике, например, (0; 1) и (1; 3). Ускорение равно:

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{3 \text{ м/с} - 1 \text{ м/с}}{1 \text{ с} - 0 \text{ с}} = 2$ м/с².

Таким образом, зависимость скорости от времени имеет вид $v(t) = 1 + 2t$.

Путь при равноускоренном движении находится по формуле $s(t) = v_0 t + \frac{at^2}{2}$. Подставим найденные значения $v_0$ и $a$:

$s(t) = 1 \cdot t + \frac{2 \cdot t^2}{2} = t + t^2$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Для построения графика на интервале $t \in [0; 2]$ найдем несколько точек:

• При $t = 0$ с, путь $s(0) = 0 + 0^2 = 0$ м.
• При $t = 1$ с, путь $s(1) = 1 + 1^2 = 2$ м.
• При $t = 2$ с, путь $s(2) = 2 + 2^2 = 6$ м.

График зависимости пути от времени — это участок параболы с ветвями вверх, проходящий через точки (0; 0), (1; 2) и (2; 6).

Ответ: Зависимость пути от времени описывается формулой $s(t) = t^2 + t$. График этой зависимости — участок параболы, проходящий через точки (0; 0), (1; 2) и (2; 6).