Номер 206, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

206. Зависимость пути $s$ от времени $t$ при прямолинейном движении точки задана графически (рис. 50). Постройте график зависимости скорости $v$ от времени $t$ для $t \in [0; 2]$.

a) б) в) Рис. 50

Для нахождения зависимости скорости $v$ от времени $t$ необходимо найти производную от функции пути $s$ по времени $t$, так как скорость — это первая производная пути по времени: $v(t) = s'(t)$. Геометрически, значение скорости в каждый момент времени равно тангенсу угла наклона касательной к графику $s(t)$ в соответствующей точке.

а)

На графике а) зависимость пути от времени $s(t)$ является линейной. График представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат $(0, 0)$ и точку $(2, 4)$. Это означает, что движение является равномерным, то есть его скорость постоянна.

Скорость $v$ равна тангенсу угла наклона графика $s(t)$ к оси времени:

$v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{4\ \text{м} - 0\ \text{м}}{2\ \text{с} - 0\ \text{с}} = 2\ \text{м/с}$

Таким образом, на всем интервале времени $t \in [0; 2]$ скорость точки постоянна и равна 2 м/с.

Ответ: График зависимости скорости от времени $v(t)$ представляет собой отрезок горизонтальной прямой $v=2$, начинающийся в точке $(0, 2)$ и заканчивающийся в точке $(2, 2)$.

б)

На графике б) зависимость $s(t)$ также линейна, следовательно, движение происходит с постоянной скоростью. График представляет собой прямую, проходящую через точки $(0, 2)$ и $(2, 4)$.

Найдем скорость, вычислив тангенс угла наклона этой прямой:

$v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{4\ \text{м} - 2\ \text{м}}{2\ \text{с} - 0\ \text{с}} = \frac{2\ \text{м}}{2\ \text{с}} = 1\ \text{м/с}$

На интервале времени $t \in [0; 2]$ скорость точки постоянна и равна 1 м/с.

Ответ: График зависимости скорости от времени $v(t)$ представляет собой отрезок горизонтальной прямой $v=1$, начинающийся в точке $(0, 1)$ и заканчивающийся в точке $(2, 1)$.

в)

На графике в) зависимость $s(t)$ нелинейная. График представляет собой кривую, что указывает на неравномерное движение (скорость меняется со временем). Кривая проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(2, 4)$. Можно заметить, что эта зависимость описывается квадратичной функцией $s(t) = t^2$.

Для нахождения функции скорости $v(t)$ возьмем производную от функции пути $s(t)=t^2$ по времени $t$:

$v(t) = s'(t) = (t^2)' = 2t$

Зависимость скорости от времени является линейной, что соответствует равноускоренному движению. Для построения графика этой зависимости найдем значения скорости в начальный и конечный моменты времени на интервале $t \in [0; 2]$:

• При $t=0$, $v(0) = 2 \cdot 0 = 0$ м/с.
• При $t=2$, $v(2) = 2 \cdot 2 = 4$ м/с.

График $v(t)$ будет представлять собой отрезок прямой, соединяющий эти две точки.

Ответ: График зависимости скорости от времени $v(t)$ представляет собой отрезок прямой, выходящий из начала координат $(0, 0)$ и идущий в точку $(2, 4)$.