Номер 201, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

201. Чему равна первообразная для функции:

а) $f(x) = 0$;

б) $f(x) = 1$;

в) $f(x) = x$;

г) $f(x) = ax + b$?

а) Первообразная для функции $f(x)$ — это такая функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Для функции $f(x) = 0$ нам нужно найти функцию, производная которой равна нулю. Из правил дифференцирования известно, что производная любой постоянной величины (константы) равна нулю. Следовательно, первообразной для $f(x) = 0$ будет любая константа $C$.
Математически это записывается как интеграл:
$F(x) = \int 0 \,dx = C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Проверка: $F'(x) = (C)' = 0$.
Ответ: $F(x) = C$

б) Для нахождения первообразной функции $f(x) = 1$, мы ищем функцию $F(x)$, производная которой равна 1. Это можно сделать с помощью интегрирования. Используем основную формулу интегрирования для степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Представим $f(x) = 1$ как $x^0$.
$F(x) = \int 1 \,dx = \int x^0 \,dx = \frac{x^{0+1}}{0+1} + C = x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Проверка: $F'(x) = (x+C)' = (x)' + (C)' = 1 + 0 = 1$.
Ответ: $F(x) = x + C$

в) Для функции $f(x) = x$, которая является степенной функцией $x^1$, мы применяем ту же формулу интегрирования.
$F(x) = \int x \,dx = \int x^1 \,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^2}{2} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Проверка: $F'(x) = (\frac{x^2}{2} + C)' = \frac{1}{2}(x^2)' + (C)' = \frac{1}{2} \cdot 2x + 0 = x$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + C$

г) Для нахождения первообразной линейной функции $f(x) = ax + b$, мы используем свойства линейности неопределенного интеграла: интеграл суммы равен сумме интегралов, и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
$F(x) = \int (ax + b) \,dx = \int ax \,dx + \int b \,dx$.
Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:
$\int ax \,dx = a \int x^1 \,dx = a \frac{x^2}{2}$.
$\int b \,dx = b \int x^0 \,dx = b x$.
Складываем результаты и добавляем одну общую произвольную постоянную $C$:
$F(x) = a\frac{x^2}{2} + bx + C$.
Проверка: $F'(x) = (a\frac{x^2}{2} + bx + C)' = a(\frac{x^2}{2})' + (bx)' + (C)' = a\frac{2x}{2} + b + 0 = ax + b$.
Ответ: $F(x) = \frac{ax^2}{2} + bx + C$