Номер 197, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

197. а) Что называют производной функции $f(x)$ в точке $x$?

б) Чему равна мгновенная скорость тела, движущегося по закону $s = f(t)$?

в) Чему равна производная постоянной?

г) Чему равна производная функции $y = kx + b$?

а) Производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ называют предел отношения приращения функции $\Delta f$ в этой точке к приращению аргумента $\Delta x$, когда приращение аргумента стремится к нулю. Приращение функции $\Delta f$ вычисляется как $f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$. Таким образом, производная $f'(x_0)$ определяется формулой:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Геометрически производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Физически производная характеризует скорость изменения функции.

Ответ: предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

б) Мгновенная скорость тела, движущегося прямолинейно по закону $s = f(t)$, где $s$ — это путь, а $t$ — время, представляет собой скорость изменения пути по времени в данный момент. Это физический смысл производной. Следовательно, мгновенная скорость $v(t)$ является производной от функции пути $s(t)$ по времени $t$.

$v(t) = s'(t) = f'(t)$

Ответ: производной функции пути по времени, то есть $s'(t)$ или $f'(t)$.

в) Производная постоянной функции, то есть функции вида $f(x) = C$, где $C$ — константа, всегда равна нулю. Это следует из определения производной: приращение постоянной функции всегда равно нулю ($\Delta f = C - C = 0$), поэтому и предел отношения будет равен нулю.

$f'(x) = (C)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{C - C}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{0}{\Delta x} = 0$

Геометрически график функции $y=C$ — это горизонтальная прямая, угол наклона которой к оси Ох равен 0, соответственно и тангенс угла наклона (производная) равен 0.

Ответ: нулю.

г) Для нахождения производной линейной функции $y = kx + b$ воспользуемся правилами дифференцирования: производная суммы равна сумме производных, а постоянный множитель можно выносить за знак производной.

$y' = (kx + b)' = (kx)' + (b)'$

Мы знаем, что производная постоянной $b$ равна нулю ($(b)' = 0$), а производная $x$ равна единице ($(x)' = 1$). Тогда:

$y' = k \cdot (x)' + 0 = k \cdot 1 = k$

Геометрически, производная — это тангенс угла наклона касательной. Графиком функции $y = kx + b$ является прямая, у которой угловой коэффициент $k$ постоянен для любой точки. Касательная к прямой в любой точке совпадает с самой прямой, следовательно, ее угловой коэффициент (производная) равен $k$.

Ответ: $k$.