Номер 193, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

193. Какова средняя скорость $v_{\text{ср}}$ за промежутки времени $[5; 5 + \frac{1}{10}]$, $[5; 5 + \frac{1}{100}]$, $[5; 5 + \frac{1}{10000}]$

для тел, законы прямолинейного движения которых таковы:

a) $s(t) = 5t + 3$;

б) $s(t) = 3t^2 + 4?$

¹В заданиях данного пункта время измеряется в секундах, путь — в метрах, а скорость — в метрах в секунду.

Средняя скорость $v_{ср}$ на промежутке времени $[t_1; t_2]$ вычисляется по формуле как отношение приращения пути $\Delta s$ к соответствующему приращению времени $\Delta t$:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$

В данной задаче начальный момент времени $t_1 = 5$ с. Конечный момент времени можно представить как $t_2 = 5 + \Delta t$, где $\Delta t$ — это длительность промежутка времени ($\frac{1}{10}$ с, $\frac{1}{100}$ с или $\frac{1}{10000}$ с).

Таким образом, формула для вычисления средней скорости для всех случаев будет:

$v_{ср} = \frac{s(5 + \Delta t) - s(5)}{\Delta t}$

а) Для закона прямолинейного движения $s(t) = 5t + 3$.

Найдем путь, пройденный телом, в начальный и конечный моменты времени.

При $t = 5$: $s(5) = 5 \cdot 5 + 3 = 28$ м.

При $t = 5 + \Delta t$: $s(5 + \Delta t) = 5(5 + \Delta t) + 3 = 25 + 5\Delta t + 3 = 28 + 5\Delta t$ м.

Теперь рассчитаем среднюю скорость:

$v_{ср} = \frac{(28 + 5\Delta t) - 28}{\Delta t} = \frac{5\Delta t}{\Delta t} = 5$ м/с.

Результат не зависит от величины $\Delta t$, так как движение является равномерным (скорость постоянна). Следовательно, для всех трех промежутков времени средняя скорость будет одинаковой.

Ответ: 5 м/с для каждого из промежутков.

б) Для закона прямолинейного движения $s(t) = 3t^2 + 4$.

Аналогично найдем путь в начальный и конечный моменты времени.

При $t = 5$: $s(5) = 3 \cdot 5^2 + 4 = 3 \cdot 25 + 4 = 79$ м.

При $t = 5 + \Delta t$: $s(5 + \Delta t) = 3(5 + \Delta t)^2 + 4 = 3(25 + 10\Delta t + (\Delta t)^2) + 4 = 75 + 30\Delta t + 3(\Delta t)^2 + 4 = 79 + 30\Delta t + 3(\Delta t)^2$ м.

Рассчитаем среднюю скорость, подставив найденные значения в общую формулу:

$v_{ср} = \frac{(79 + 30\Delta t + 3(\Delta t)^2) - 79}{\Delta t} = \frac{30\Delta t + 3(\Delta t)^2}{\Delta t} = 30 + 3\Delta t$ м/с.

Теперь вычислим среднюю скорость для каждого конкретного промежутка, подставляя соответствующее значение $\Delta t$:

- Для промежутка $[5; 5 + \frac{1}{10}]$, $\Delta t = 0.1$ с: $v_{ср} = 30 + 3 \cdot 0.1 = 30 + 0.3 = 30.3$ м/с.

- Для промежутка $[5; 5 + \frac{1}{100}]$, $\Delta t = 0.01$ с: $v_{ср} = 30 + 3 \cdot 0.01 = 30 + 0.03 = 30.03$ м/с.

- Для промежутка $[5; 5 + \frac{1}{10000}]$, $\Delta t = 0.0001$ с: $v_{ср} = 30 + 3 \cdot 0.0001 = 30 + 0.0003 = 30.0003$ м/с.

Ответ: для промежутка $[5; 5 + \frac{1}{10}]$ скорость 30.3 м/с; для $[5; 5 + \frac{1}{100}]$ — 30.03 м/с; для $[5; 5 + \frac{1}{10000}]$ — 30.0003 м/с.