Номер 198, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

198. Какова производная в точке x функции:

а) $y = 2x + 3;$

б) $y = -2 - 3x;$

в) $y = 2x^2 - 3x + 1;$

г) $y = -x^2 + 2x - 1?$

а)

Дана функция $y = 2x + 3$.
Для нахождения производной функции $y$ по переменной $x$, воспользуемся основными правилами дифференцирования:
1. Производная суммы (или разности) функций равна сумме (или разности) их производных: $(u \pm v)' = u' \pm v'$.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: $(C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x)$.
3. Производная константы равна нулю: $(C)' = 0$.
4. Производная независимой переменной $x$ равна единице: $(x)' = 1$.

Применим эти правила к нашей функции:
$y' = (2x + 3)' = (2x)' + (3)'$.
Находим производную каждого слагаемого:
$(2x)' = 2 \cdot (x)' = 2 \cdot 1 = 2$.
$(3)' = 0$.
Складываем полученные результаты:
$y' = 2 + 0 = 2$.

Ответ: $2$

б)

Дана функция $y = -2 - 3x$.
Используя те же правила дифференцирования, находим производную:
$y' = (-2 - 3x)' = (-2)' - (3x)'$.
Находим производную каждого слагаемого:
$(-2)' = 0$ (как производная константы).
$(3x)' = 3 \cdot (x)' = 3 \cdot 1 = 3$.
Следовательно, производная функции равна:
$y' = 0 - 3 = -3$.

Ответ: $-3$

в)

Дана функция $y = 2x^2 - 3x + 1$.
Для решения этой задачи, помимо уже перечисленных правил, нам понадобится правило дифференцирования степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

Находим производную функции, применяя правила к каждому слагаемому:
$y' = (2x^2 - 3x + 1)' = (2x^2)' - (3x)' + (1)'$.
Вычисляем производную для каждого члена:
$(2x^2)' = 2 \cdot (x^2)' = 2 \cdot (2x^{2-1}) = 4x$.
$(3x)' = 3 \cdot (x)' = 3 \cdot 1 = 3$.
$(1)' = 0$.
Собираем все вместе:
$y' = 4x - 3 + 0 = 4x - 3$.

Ответ: $4x - 3$

г)

Дана функция $y = -x^2 + 2x - 1$.
Находим производную функции, используя те же правила:
$y' = (-x^2 + 2x - 1)' = (-x^2)' + (2x)' - (1)'$.
Вычисляем производную для каждого члена:
$(-x^2)' = -1 \cdot (x^2)' = -1 \cdot (2x^{2-1}) = -2x$.
$(2x)' = 2 \cdot (x)' = 2 \cdot 1 = 2$.
$(-1)' = 0$.
Складываем результаты:
$y' = -2x + 2 - 0 = -2x + 2$.

Ответ: $-2x + 2$