Номер 204, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

204. Скорость материальной точки определяется формулой:

а) $v(t) = 3;$

б) $v(t) = 2t;$

в) $v(t) = 2t + 1.$

Задайте формулой закон движения материальной точки $s(t)$, если известно, что $s(0) = 0.$

Закон движения материальной точки $s(t)$ является первообразной для функции скорости $v(t)$, поскольку скорость — это производная от координаты по времени ($v(t) = s'(t)$). Следовательно, чтобы найти $s(t)$, нужно вычислить интеграл от $v(t)$: $s(t) = \int v(t) dt$. Константу интегрирования $C$, которая появляется при вычислении неопределенного интеграла, мы найдем, используя начальное условие, что в момент времени $t=0$ координата точки была равна нулю, то есть $s(0) = 0$.

а) Дана формула скорости $v(t) = 3$.
Найдем закон движения $s(t)$ как первообразную от $v(t)$: $s(t) = \int 3 dt = 3t + C$.
Теперь используем начальное условие $s(0) = 0$ для нахождения константы $C$: $s(0) = 3 \cdot 0 + C = 0$ $0 + C = 0 \implies C = 0$.
Подставив $C=0$ в общее решение, получаем искомый закон движения.
Ответ: $s(t) = 3t$.

б) Дана формула скорости $v(t) = 2t$.
Найдем закон движения $s(t)$ как первообразную от $v(t)$: $s(t) = \int 2t dt = 2 \cdot \frac{t^2}{2} + C = t^2 + C$.
Теперь используем начальное условие $s(0) = 0$ для нахождения константы $C$: $s(0) = 0^2 + C = 0$ $0 + C = 0 \implies C = 0$.
Подставив $C=0$ в общее решение, получаем искомый закон движения.
Ответ: $s(t) = t^2$.

в) Дана формула скорости $v(t) = 2t + 1$.
Найдем закон движения $s(t)$ как первообразную от $v(t)$: $s(t) = \int (2t + 1) dt = \int 2t dt + \int 1 dt = t^2 + t + C$.
Теперь используем начальное условие $s(0) = 0$ для нахождения константы $C$: $s(0) = 0^2 + 0 + C = 0$ $0 + C = 0 \implies C = 0$.
Подставив $C=0$ в общее решение, получаем искомый закон движения.
Ответ: $s(t) = t^2 + t$.