Страница 85 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

249. a) Сколько существует корней нечётной степени из любого действительного числа?

б) Может ли корень нечётной степени из положительного числа быть числом отрицательным?

в) Будет ли корень нечётной степени из отрицательного числа числом отрицательным?

г) Чему равен корень нечётной степени из нуля?

а) Корень нечётной степени $n$ из действительного числа $a$ — это такое действительное число $x$, что $x^n=a$. Рассмотрим функцию $y=x^n$, где $n$ — нечётное натуральное число. Эта функция является строго возрастающей на всей числовой оси, и её область значений — все действительные числа (от $-\infty$ до $+\infty$). Это означает, что для любого действительного числа $a$ график функции $y=x^n$ пересекается с горизонтальной прямой $y=a$ ровно в одной точке. Следовательно, уравнение $x^n=a$ всегда имеет ровно один действительный корень. Этот корень и называют корнем нечётной степени из числа $a$.
Ответ: Существует ровно один корень нечётной степени из любого действительного числа.

б) Пусть $x = \sqrt[n]{a}$, где $n$ — нечётное число, а $a$ — положительное число ($a>0$). По определению, $x^n = a$. Предположим, что $x$ является отрицательным числом, то есть $x < 0$. При возведении отрицательного числа в нечётную степень результат также будет отрицательным, то есть $x^n < 0$. Но по условию $x^n=a$ и $a>0$. Получаем противоречие: $x^n$ должно быть одновременно и положительным, и отрицательным. Следовательно, наше предположение неверно. Корень нечётной степени из положительного числа не может быть отрицательным числом, он всегда положителен.
Ответ: Нет, не может.

в) Пусть $x = \sqrt[n]{a}$, где $n$ — нечётное число, а $a$ — отрицательное число ($a<0$). По определению, $x^n = a$. Поскольку $a < 0$, нам нужно найти знак $x$. Если бы $x$ было положительным числом ($x>0$), то $x^n$ тоже было бы положительным. Если бы $x=0$, то $x^n=0$. Оба случая противоречат условию $x^n = a < 0$. Единственная оставшаяся возможность — $x$ является отрицательным числом ($x<0$). При возведении отрицательного числа в нечётную степень результат действительно будет отрицательным, что соответствует условию. Таким образом, корень нечётной степени из отрицательного числа всегда является отрицательным числом.
Ответ: Да, будет.

г) Найдём значение корня нечётной степени $n$ из нуля, то есть $\sqrt[n]{0}$. Пусть $x = \sqrt[n]{0}$. По определению корня, это означает, что $x^n = 0$. Единственное действительное число, которое при возведении в любую натуральную степень даёт в результате ноль, — это само число ноль. Следовательно, $x=0$.
Ответ: Корень нечётной степени из нуля равен нулю.

250. Как обозначают корень нечётной степени из числа $a$?

Корень нечётной степени из числа $a$ — это такое число, которое при возведении в эту нечётную степень даёт в результате число $a$.

Для обозначения корня произвольной степени $n$ из числа $a$ используется специальный математический символ — радикал. Обозначение выглядит как $\sqrt[n]{a}$.

В данном случае нас интересует корень нечётной степени. Это означает, что показатель корня $n$ является нечётным натуральным числом, например, $3, 5, 7$ и так далее. Общий вид нечётного натурального числа можно записать как $2k+1$, где $k$ — натуральное число или ноль ($k \in \{0, 1, 2, \dots\}$).

Таким образом, запись для корня нечётной степени из числа $a$ имеет вид: $$ \sqrt[n]{a} $$ где $n$ — нечётное натуральное число.

В этом обозначении:

• $n$ — это показатель корня. Он указывает, в какую степень нужно возвести результат, чтобы получить подкоренное число.
• $a$ — это подкоренное выражение. Важной особенностью корня нечётной степени является то, что число $a$ может быть любым действительным числом: положительным, отрицательным или нулём. Результат $\sqrt[n]{a}$ будет иметь тот же знак, что и число $a$.

Например, корень 3-й степени (кубический корень) из $-27$ обозначается как $\sqrt[3]{-27}$ и равен $-3$, потому что $(-3)^3 = -27$. Корень 5-й степени из $32$ обозначается как $\sqrt[5]{32}$ и равен $2$, потому что $2^5 = 32$.

Ответ: Корень нечётной степени $n$ из числа $a$ обозначают как $\sqrt[n]{a}$, где $n$ — нечётное натуральное число.

251. Как обозначают положительный корень чётной степени из положительного числа? Приведите пример.

Как обозначают положительный корень чётной степени из положительного числа?

Положительный корень чётной степени $n$ из положительного (или неотрицательного) числа $a$ называется арифметическим корнем $n$-ой степени из числа $a$. Для его обозначения используется специальный символ — знак корня или радикал. Общий вид обозначения:

$ \sqrt[n]{a} $

В этом выражении $a$ — это подкоренное число ($a \ge 0$), а $n$ — показатель корня, который является чётным натуральным числом ($n = 2, 4, 6, \dots$). Если показатель корня равен 2 (квадратный корень), его обычно не пишут: $\sqrt{a}$.

По определению, результатом извлечения такого корня $\sqrt[n]{a}$ является неотрицательное число $b$, которое при возведении в степень $n$ даёт в результате число $a$. То есть, равенство $\sqrt[n]{a} = b$ означает, что выполняются два условия: $b \ge 0$ и $b^n = a$.

Ответ: Положительный корень чётной степени $n$ из положительного числа $a$ обозначают как $\sqrt[n]{a}$.

Приведите пример.

Рассмотрим положительный корень четвёртой степени из числа 81. В данном случае степень $n=4$ — чётная, а число под корнем $a=81$ — положительное. Обозначение для этого корня следующее:

$ \sqrt[4]{81} $

Чтобы найти его значение, необходимо найти такое неотрицательное число, которое при возведении в четвёртую степень будет равно 81. Этим числом является 3, так как $3 \ge 0$ и $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

Таким образом, $\sqrt[4]{81} = 3$.

Важно отметить, что уравнение $x^4 = 81$ имеет два действительных корня: $x=3$ и $x=-3$. Однако, символ арифметического корня $\sqrt[4]{81}$ по определению обозначает именно положительный корень.

Ответ: Примером является корень четвёртой степени из 81, который обозначается как $\sqrt[4]{81}$ и равен 3.

252. Как обозначают отрицательный корень чётной степени из положительного числа? Приведите пример.

Как обозначают отрицательный корень чётной степени из положительного числа?
Для любого положительного числа $a$ (то есть $a > 0$) и любого чётного натурального числа $n$ (например, 2, 4, 6, ...) уравнение $x^n = a$ имеет два действительных корня. Эти корни являются противоположными числами.
Положительный корень называется арифметическим корнем $n$-й степени из числа $a$ и обозначается с помощью знака радикала: $\sqrt[n]{a}$.
Отрицательный корень, будучи противоположным положительному, обозначается так же, но со знаком «минус» перед радикалом.
Ответ: Отрицательный корень чётной степени $n$ из положительного числа $a$ обозначают как $-\sqrt[n]{a}$.

Приведите пример.
Найдём отрицательный корень четвёртой степени из числа 16.
Здесь степень $n=4$ — чётная, а число $a=16$ — положительное. Мы ищем отрицательное число $x$, такое что $x^4 = 16$.
Арифметический корень из 16 равен $\sqrt[4]{16} = 2$, поскольку $2^4=16$ и $2>0$.
Отрицательный корень будет противоположным числом, то есть $-2$. Обозначается он как $-\sqrt[4]{16}$.
Проверка: $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot 4 = 16$.
Ответ: Примером является отрицательный корень четвёртой степени из 16, который обозначается как $-\sqrt[4]{16}$ и равен $-2$.

253. Для любого ли действительного числа существует корень чётной степени?

Нет, не для любого действительного числа существует корень чётной степени.

По определению, корнем чётной степени $2n$ (где $n$ — натуральное число, например, 2, 4, 6 и т.д.) из действительного числа $a$ называется такое действительное число $x$, которое при возведении в степень $2n$ даёт число $a$. Это можно записать в виде уравнения: $x^{2n} = a$.

Рассмотрим, каким может быть результат возведения любого действительного числа $x$ в чётную степень $2n$:

1. Если число $x$ положительное ($x > 0$), то и результат $x^{2n}$ будет положительным.
2. Если число $x$ равно нулю ($x = 0$), то и результат $x^{2n}$ будет равен нулю.
3. Если число $x$ отрицательное ($x < 0$), то при возведении в чётную степень знак "минус" исчезает, и результат $x^{2n}$ становится положительным. Например, $(-2)^2 = 4$ или $(-3)^4 = 81$.

Таким образом, для любого действительного числа $x$ (положительного, отрицательного или нуля) результат его возведения в чётную степень всегда является неотрицательным числом. Математически это записывается как $x^{2n} \ge 0$.

Из этого следует, что уравнение $x^{2n} = a$ может иметь решение в действительных числах только в том случае, если $a$ — неотрицательное число ($a \ge 0$). Если же мы возьмём любое отрицательное действительное число, например $a = -16$, то корень чётной степени из него (например, $\sqrt[4]{-16}$) не будет существовать в множестве действительных чисел, так как нет такого действительного числа $x$, для которого выполнялось бы равенство $x^4 = -16$.

Ответ: Нет, корень чётной степени в множестве действительных чисел существует только для неотрицательных чисел (то есть для положительных чисел и нуля). Для любого отрицательного действительного числа корень чётной степени не определён.

254. Существует ли корень чётной степени:

а) из положительного числа;

б) из нуля;

в) из отрицательного числа?

а) Да, корень чётной степени из положительного числа существует. По определению, корень степени $n$ из числа $a$ — это такое число $x$, что $x^n=a$. Если степень $n$ является чётной (обозначим её $2k$, где $k$ — натуральное число), а число $a$ — положительным ($a > 0$), то уравнение $x^{2k}=a$ всегда имеет два решения в области действительных чисел. Одно решение положительное, а другое — отрицательное. Например, для уравнения $x^4=16$, решениями являются $x=2$ и $x=-2$. Положительный корень называется арифметическим. Таким образом, корень чётной степени из положительного числа существует.
Ответ: да, существует.

б) Да, корень чётной степени из нуля существует. Необходимо найти число $x$, такое что $x^{2k}=0$, где $2k$ — чётная степень. Единственное действительное число, которое при возведении в любую положительную степень даёт в результате ноль, — это само число ноль. Таким образом, $\sqrt[2k]{0}=0$.
Ответ: да, существует.

в) Нет, корень чётной степени из отрицательного числа в множестве действительных чисел не существует. Необходимо найти такое действительное число $x$, чтобы выполнялось равенство $x^{2k}=a$, где $a < 0$. Однако любое действительное число $x$ при возведении в чётную степень $2k$ даёт неотрицательный результат, то есть $x^{2k} \ge 0$. Это следует из того, что произведение чётного числа сомножителей, равных $x$, всегда будет положительным, если $x \ne 0$, и будет равно нулю, если $x=0$. Следовательно, не существует действительного числа, чётная степень которого была бы отрицательной.
Ответ: нет, не существует (в множестве действительных чисел).

255. Чему равен корень чётной степени из нуля?

По определению, арифметическим корнем $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) называется такое неотрицательное число $x$, что его $n$-я степень равна $a$. Это можно записать в виде формулы: $\sqrt[n]{a} = x$, что равносильно $x^n = a$ (при условии $x \ge 0$ и $a \ge 0$).

В задаче требуется найти значение корня чётной степени из нуля. Пусть $n$ — это любое чётное натуральное число (например, $n=2, 4, 6, \dots$). Нам нужно найти значение выражения $\sqrt[n]{0}$.

Обозначим искомое значение через $x$, то есть $x = \sqrt[n]{0}$.

Исходя из определения корня, мы ищем такое неотрицательное число $x$, для которого выполняется равенство:
$x^n = 0$

Единственным числом, которое при возведении в любую положительную степень (в том числе и в любую чётную) даёт в результате ноль, является само число ноль.
Следовательно, $x = 0$.

Таким образом, корень любой чётной степени из нуля равен нулю.

Ответ: 0