Страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Вынесите множитель из-под знака корня (287–289):

287. a) $\sqrt[3]{40}$;

б) $\sqrt[5]{-64}$;

в) $\sqrt[5]{-96}$;

г) $\sqrt[3]{54}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака кубического корня из 40, необходимо разложить подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был точным кубом.

Разложим число 40 на множители: $40 = 8 \times 5 = 2^3 \times 5$.

Теперь подставим это разложение в исходное выражение:

$\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \times 5}$.

Используя свойство корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, разделим корень на два:

$\sqrt[3]{8 \times 5} = \sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{5}$.

Так как $\sqrt[3]{8} = 2$, выражение упрощается до:

$2 \times \sqrt[3]{5} = 2\sqrt[3]{5}$.

Ответ: $2\sqrt[3]{5}$.

б) Рассмотрим корень пятой степени из -64. Так как степень корня (5) является нечетным числом, знак минус можно вынести из-под знака корня:

$\sqrt[5]{-64} = -\sqrt[5]{64}$.

Теперь нужно разложить число 64 на множители, один из которых является точной пятой степенью.

Разложение числа 64: $64 = 32 \times 2 = 2^5 \times 2$.

Подставим это в выражение:

$-\sqrt[5]{64} = -\sqrt[5]{32 \times 2}$.

Применяем свойство корня из произведения:

$-\sqrt[5]{32 \times 2} = -(\sqrt[5]{32} \times \sqrt[5]{2})$.

Так как $\sqrt[5]{32} = 2$, получаем:

$-(2 \times \sqrt[5]{2}) = -2\sqrt[5]{2}$.

Ответ: $-2\sqrt[5]{2}$.

в) В выражении $\sqrt[5]{-96}$ степень корня нечетная, поэтому, как и в предыдущем примере, выносим минус за знак корня:

$\sqrt[5]{-96} = -\sqrt[5]{96}$.

Разложим подкоренное выражение 96 на множители с целью выделить множитель, являющийся точной пятой степенью.

Разложение числа 96: $96 = 32 \times 3 = 2^5 \times 3$.

Подставим разложение в выражение:

$-\sqrt[5]{96} = -\sqrt[5]{32 \times 3}$.

Используем свойство произведения корней:

$-\sqrt[5]{32 \times 3} = -(\sqrt[5]{32} \times \sqrt[5]{3})$.

Так как $\sqrt[5]{32} = 2$, то:

$-(2 \times \sqrt[5]{3}) = -2\sqrt[5]{3}$.

Ответ: $-2\sqrt[5]{3}$.

г) Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[3]{54}$, необходимо найти множитель числа 54, который является точным кубом.

Разложим число 54 на множители: $54 = 27 \times 2 = 3^3 \times 2$.

Подставим это разложение под знак корня:

$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \times 2}$.

Воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:

$\sqrt[3]{27 \times 2} = \sqrt[3]{27} \times \sqrt[3]{2}$.

Поскольку $\sqrt[3]{27} = 3$, получаем итоговый результат:

$3 \times \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}$.

Ответ: $3\sqrt[3]{2}$.

288. a) $\sqrt[3]{\frac{3}{8}}$;

б) $\sqrt[3]{\frac{27}{4}}$;

в) $\sqrt[3]{-\frac{250}{16}}$;

г) $\sqrt[3]{-\frac{64}{7}}$.

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{\frac{3}{8}}$ воспользуемся свойством корня из дроби: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

Применяем это свойство к нашему выражению: $\sqrt[3]{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{8}}$

Знаменатель $\sqrt[3]{8}$ равен $2$, так как $2^3 = 8$. Числитель $\sqrt[3]{3}$ является иррациональным числом и дальнейшему упрощению не подлежит.

Таким образом, получаем: $\frac{\sqrt[3]{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt[3]{3}}{2}$

б) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{\frac{27}{4}}$. Используем свойство корня из дроби: $\sqrt[3]{\frac{27}{4}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{4}}$

Вычисляем корень в числителе: $\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$. Получаем выражение: $\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, нужно сделать подкоренное выражение в знаменателе полным кубом. Для этого домножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt[3]{2}$: $\frac{3}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4 \cdot 2}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}}$

Так как $\sqrt[3]{8} = 2$, получаем конечный результат: $\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

Ответ: $\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

в) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{-\frac{250}{16}}$.

Сначала можно вынести знак минус из-под знака кубического корня, так как корень нечетной степени из отрицательного числа равен минус корню из положительного числа: $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$. $\sqrt[3]{-\frac{250}{16}} = -\sqrt[3]{\frac{250}{16}}$

Теперь сократим дробь под корнем: $\frac{250}{16} = \frac{125 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{125}{8}$

Подставим упрощенную дробь обратно в выражение: $-\sqrt[3]{\frac{125}{8}}$

Применим свойство корня из дроби: $-\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{8}}$

Вычислим корни в числителе и знаменателе: $\sqrt[3]{125} = 5$ (так как $5^3=125$) и $\sqrt[3]{8} = 2$ (так как $2^3=8$).

В результате получаем: $-\frac{5}{2}$

Ответ: $-\frac{5}{2}$

г) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{-\frac{64}{7}}$.

Выносим знак минус из-под знака корня: $\sqrt[3]{-\frac{64}{7}} = -\sqrt[3]{\frac{64}{7}}$

Применяем свойство корня из дроби: $-\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{7}}$

Вычисляем корень в числителе: $\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3 = 64$. Получаем выражение: $-\frac{4}{\sqrt[3]{7}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на такое число, чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало полным кубом. Нам нужно получить $\sqrt[3]{7^3}$, поэтому домножим на $\sqrt[3]{7^2} = \sqrt[3]{49}$: $-\frac{4 \cdot \sqrt[3]{49}}{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{49}} = -\frac{4\sqrt[3]{49}}{\sqrt[3]{7 \cdot 49}} = -\frac{4\sqrt[3]{49}}{\sqrt[3]{343}}$

Так как $\sqrt[3]{343} = 7$, получаем конечный результат: $-\frac{4\sqrt[3]{49}}{7}$

Ответ: $-\frac{4\sqrt[3]{49}}{7}$

289. а) $\sqrt[4]{32}$;

б) $\sqrt[4]{243}$;

в) $\sqrt[4]{1296}$;

г) $\sqrt[4]{50625}$.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt[4]{32}$ необходимо вынести множитель из-под знака корня. Для этого разложим подкоренное число 32 на множители так, чтобы один из них был точной четвертой степенью.

Представим число 32 в виде произведения $16$ и $2$:

$32 = 16 \cdot 2$

Число $16$ является четвертой степенью числа $2$, так как $2^4 = 16$.

Теперь подставим это разложение в исходное выражение и воспользуемся свойством корня $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:

$\sqrt[4]{32} = \sqrt[4]{16 \cdot 2} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{2}$

Так как $\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$, получаем:

$2 \cdot \sqrt[4]{2} = 2\sqrt[4]{2}$

Ответ: $2\sqrt[4]{2}$.

б)

Для упрощения выражения $\sqrt[4]{243}$ вынесем множитель из-под знака корня. Разложим подкоренное число 243 на простые множители.

Представим 243 как произведение $81$ и $3$:

$243 = 81 \cdot 3$

Число $81$ является четвертой степенью числа $3$, так как $3^4 = 81$.

Подставим разложение в выражение и применим свойство корня $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:

$\sqrt[4]{243} = \sqrt[4]{81 \cdot 3} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{3}$

Так как $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$, получаем:

$3 \cdot \sqrt[4]{3} = 3\sqrt[4]{3}$

Ответ: $3\sqrt[4]{3}$.

в)

Чтобы найти значение выражения $\sqrt[4]{1296}$, необходимо найти число, четвертая степень которого равна 1296. Разложим число 1296 на простые множители.

$1296 = 2 \cdot 648 = 2 \cdot 2 \cdot 324 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 162 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 81 = 2^4 \cdot 81$

Мы знаем, что $81 = 3^4$. Таким образом, получаем:

$1296 = 2^4 \cdot 3^4$

Используя свойство степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, можем записать:

$1296 = (2 \cdot 3)^4 = 6^4$

Теперь извлечем корень четвертой степени:

$\sqrt[4]{1296} = \sqrt[4]{6^4} = 6$

Ответ: $6$.

г)

Чтобы найти значение выражения $\sqrt[4]{50625}$, найдем число, которое при возведении в четвертую степень дает 50625. Для этого разложим подкоренное число на простые множители.

Число заканчивается на 25, значит оно делится на $5^2=25$. Число также делится на 5.

$50625 = 5 \cdot 10125 = 5 \cdot 5 \cdot 2025 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 405 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 81 = 5^4 \cdot 81$

Мы знаем, что $81 = 3^4$. Таким образом, получаем:

$50625 = 5^4 \cdot 3^4$

Используя свойство степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, можем записать:

$50625 = (5 \cdot 3)^4 = 15^4$

Теперь извлечем корень четвертой степени:

$\sqrt[4]{50625} = \sqrt[4]{15^4} = 15$

Ответ: $15$.

290. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $\frac{1}{\sqrt[3]{2}};$

б) $\frac{1}{\sqrt[5]{2}};$

в) $\frac{3}{\sqrt[3]{-4}};$

г) $\frac{5}{\sqrt[5]{-9}}.$

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} $, необходимо домножить ее числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы в знаменателе исчез корень. Знаменатель можно представить в виде степени $ 2^{1/3} $. Чтобы показатель степени стал целым числом (в данном случае 1), нужно домножить это выражение на $ 2^{2/3} $, так как по свойству степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $, получим $ 2^{1/3} \cdot 2^{2/3} = 2^{1/3+2/3} = 2^1 = 2 $. Множитель $ 2^{2/3} $ равен $ \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} $.
Выполним умножение числителя и знаменателя на $ \sqrt[3]{4} $:
$ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2 \cdot 4}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt[3]{4}}{2} $

б) Для дроби $ \frac{1}{\sqrt[5]{2}} $ действуем аналогично. Знаменатель равен $ 2^{1/5} $. Чтобы избавиться от корня, необходимо, чтобы показатель степени стал целым числом. Домножим числитель и знаменатель на $ 2^{4/5} $, так как $ 2^{1/5} \cdot 2^{4/5} = 2^{1/5+4/5} = 2^1=2 $. Множитель $ 2^{4/5} $ равен $ \sqrt[5]{2^4} = \sqrt[5]{16} $.
Выполним умножение:
$ \frac{1}{\sqrt[5]{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[5]{16}} = \frac{\sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]{2 \cdot 16}} = \frac{\sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{\sqrt[5]{16}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt[5]{16}}{2} $

в) Рассмотрим дробь $ \frac{3}{\sqrt[3]{-4}} $. Поскольку корень нечетной степени (3), знак минус можно вынести из-под корня: $ \sqrt[3]{-4} = -\sqrt[3]{4} $.
Таким образом, дробь можно переписать в виде: $ \frac{3}{-\sqrt[3]{4}} = -\frac{3}{\sqrt[3]{4}} $.
Теперь избавимся от иррациональности в знаменателе. Знаменатель $ \sqrt[3]{4} $ можно представить как $ \sqrt[3]{2^2} $ или $ 2^{2/3} $. Домножим числитель и знаменатель на $ 2^{1/3} = \sqrt[3]{2} $, чтобы получить в знаменателе $ 2^{2/3} \cdot 2^{1/3} = 2^1=2 $.
Выполним умножение:
$ -\frac{3}{\sqrt[3]{4}} = -\frac{3 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2}} = -\frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4 \cdot 2}} = -\frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}} = -\frac{3\sqrt[3]{2}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{3\sqrt[3]{2}}{2} $

г) Рассмотрим дробь $ \frac{5}{\sqrt[5]{-9}} $. Поскольку корень нечетной степени (5), можно вынести знак минус из-под корня: $ \sqrt[5]{-9} = -\sqrt[5]{9} $.
Дробь принимает вид: $ \frac{5}{-\sqrt[5]{9}} = -\frac{5}{\sqrt[5]{9}} $.
Знаменатель $ \sqrt[5]{9} $ можно представить как $ \sqrt[5]{3^2} $ или $ 3^{2/5} $. Чтобы избавиться от корня, домножим числитель и знаменатель на $ 3^{3/5} $, так как $ 3^{2/5} \cdot 3^{3/5} = 3^{2/5+3/5}=3^1=3 $. Множитель $ 3^{3/5} $ равен $ \sqrt[5]{3^3} = \sqrt[5]{27} $.
Выполним умножение:
$ -\frac{5}{\sqrt[5]{9}} = -\frac{5 \cdot \sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[5]{27}} = -\frac{5\sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{9 \cdot 27}} = -\frac{5\sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{243}} = -\frac{5\sqrt[5]{27}}{3} $.
Ответ: $ -\frac{5\sqrt[5]{27}}{3} $

291. a) Запишите числа, арифметические корни пятой степени которых равны 2; 3; $\frac{1}{4}$; 0,2.

б) Запишите числа, арифметические корни четвёртой степени которых равны 2; 3; $\frac{1}{4}$; 0,2.

а)

По определению, если арифметический корень пятой степени из числа $x$ равен $b$, что записывается как $\sqrt[5]{x} = b$, то само число $x$ можно найти, возведя $b$ в пятую степень: $x = b^5$. Выполним это действие для каждого из заданных значений.

1. Для корня, равного 2, искомое число:
$x = 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

2. Для корня, равного 3, искомое число:
$x = 3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.

3. Для корня, равного $\frac{1}{4}$, искомое число:
$x = \left(\frac{1}{4}\right)^5 = \frac{1^5}{4^5} = \frac{1}{1024}$.

4. Для корня, равного 0,2, искомое число:
$x = (0,2)^5 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,00032$.

Ответ: 32; 243; $\frac{1}{1024}$; 0,00032.

б)

Аналогично, если арифметический корень четвёртой степени из числа $x$ равен $b$, что записывается как $\sqrt[4]{x} = b$, то для нахождения $x$ необходимо возвести $b$ в четвёртую степень: $x = b^4$.

1. Для корня, равного 2, искомое число:
$x = 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

2. Для корня, равного 3, искомое число:
$x = 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

3. Для корня, равного $\frac{1}{4}$, искомое число:
$x = \left(\frac{1}{4}\right)^4 = \frac{1^4}{4^4} = \frac{1}{256}$.

4. Для корня, равного 0,2, искомое число:
$x = (0,2)^4 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,0016$.

Ответ: 16; 81; $\frac{1}{256}$; 0,0016.

292. Вычислите:

а) $\sqrt[4]{5 \frac{1}{16}}$;

б) $\sqrt[3]{4 \frac{17}{27}}$;

в) $\sqrt[4]{2 \frac{113}{256}}$;

г) $\sqrt[3]{669 \frac{59}{64}}$.

а)

Для вычисления значения выражения $\sqrt[4]{5\frac{1}{16}}$ сначала преобразуем смешанное число, стоящее под корнем, в неправильную дробь.

$5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{80 + 1}{16} = \frac{81}{16}$

Теперь подставим полученную дробь обратно в выражение и воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:

$\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}}$

Далее вычислим корни четвертой степени из числителя и знаменателя:

$\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

$\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

В результате получаем дробь, которую можно представить в виде смешанного числа:

$\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Ответ: $1\frac{1}{2}$.

б)

Для вычисления $\sqrt[3]{4\frac{17}{27}}$ первым шагом преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$4\frac{17}{27} = \frac{4 \cdot 27 + 17}{27} = \frac{108 + 17}{27} = \frac{125}{27}$

Подставим полученную дробь под корень и применим свойство корня из дроби:

$\sqrt[3]{\frac{125}{27}} = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{27}}$

Теперь вычислим кубические корни из числителя и знаменателя:

$\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3 = 125$.

$\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.

Получаем значение выражения:

$\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$

Ответ: $1\frac{2}{3}$.

в)

Чтобы вычислить $\sqrt[4]{2\frac{113}{256}}$, необходимо преобразовать смешанное число в неправильную дробь.

$2\frac{113}{256} = \frac{2 \cdot 256 + 113}{256} = \frac{512 + 113}{256} = \frac{625}{256}$

Теперь извлечем корень четвертой степени из полученной дроби, используя свойство корня:

$\sqrt[4]{\frac{625}{256}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{256}}$

Вычислим значения корней:

$\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5^4 = 625$.

$\sqrt[4]{256} = 4$, так как $4^4 = 256$.

Таким образом, результат равен:

$\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$

Ответ: $1\frac{1}{4}$.

г)

Для вычисления значения $\sqrt[3]{669\frac{59}{64}}$ преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$669\frac{59}{64} = \frac{669 \cdot 64 + 59}{64} = \frac{42816 + 59}{64} = \frac{42875}{64}$

Подставим полученную дробь под знак корня и применим свойство корня из дроби:

$\sqrt[3]{\frac{42875}{64}} = \frac{\sqrt[3]{42875}}{\sqrt[3]{64}}$

Вычислим кубические корни из числителя и знаменателя:

$\sqrt[3]{42875} = 35$, так как $35^3 = 35 \cdot 35 \cdot 35 = 1225 \cdot 35 = 42875$.

$\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3 = 64$.

Тогда искомое значение равно:

$\frac{35}{4} = 8\frac{3}{4}$

Ответ: $8\frac{3}{4}$.

293. Подберите число $x$, удовлетворяющее уравнению:

а) $\sqrt[3]{x} = 2;$

б) $\sqrt[4]{x} = 2;$

в) $\sqrt[6]{x} = 1;$

г) $\sqrt[5]{x} = 1.$

а) В уравнении $\sqrt[3]{x} = 2$ требуется найти число $x$, кубический корень из которого равен 2. По определению корня n-ой степени, чтобы найти подкоренное выражение $x$, нужно результат извлечения корня (число 2) возвести в степень, равную показателю корня (число 3). Иными словами, возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{x})^3 = 2^3$

Выполним вычисления:

$x = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Проверка: $\sqrt[3]{8} = 2$. Равенство верное.

Ответ: $x = 8$.

б) В уравнении $\sqrt[4]{x} = 2$ требуется найти число $x$, корень четвертой степени из которого равен 2. Для этого возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x})^4 = 2^4$

Выполним вычисления:

$x = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

Проверка: $\sqrt[4]{16} = 2$. Равенство верное.

Ответ: $x = 16$.

в) В уравнении $\sqrt[6]{x} = 1$ требуется найти число $x$, корень шестой степени из которого равен 1. Возведем обе части уравнения в шестую степень:

$(\sqrt[6]{x})^6 = 1^6$

Известно, что число 1 в любой степени равно 1, поэтому:

$x = 1$

Проверка: $\sqrt[6]{1} = 1$. Равенство верное.

Ответ: $x = 1$.

г) В уравнении $\sqrt[5]{x} = 1$ требуется найти число $x$, корень пятой степени из которого равен 1. Возведем обе части уравнения в пятую степень:

$(\sqrt[5]{x})^5 = 1^5$

Число 1 в любой степени равно 1, поэтому:

$x = 1$

Проверка: $\sqrt[5]{1} = 1$. Равенство верное.

Ответ: $x = 1$.

294. Вычислите:

a) $\sqrt{(-2)^2}$;

б) $\sqrt{(-5)^4}$;

в) $\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}$;

г) $\sqrt{(\sqrt{2}-2)^2}$;

д) $\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}$;

е) $\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{7})^2}$.

а) Для вычисления выражения $\sqrt{(-2)^2}$ воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня, которое гласит, что $\sqrt{a^2} = |a|$ (квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа).
Применяя это свойство, где $a = -2$, получаем:
$\sqrt{(-2)^2} = |-2| = 2$.
Ответ: 2.

б) Выражение $\sqrt{(-5)^4}$ можно упростить, представив степень под корнем как квадрат другого выражения, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(-5)^4 = ((-5)^2)^2 = 25^2$.
Теперь выражение принимает вид $\sqrt{25^2}$. Используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a=25$, получаем:
$\sqrt{25^2} = |25| = 25$.
Ответ: 25.

в) Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = \sqrt{2}-1$. Выражение становится равным $|\sqrt{2}-1|$.
Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения $\sqrt{2}-1$. Так как $2 > 1$, то и $\sqrt{2} > \sqrt{1}$, что означает $\sqrt{2} > 1$. Следовательно, разность $\sqrt{2}-1$ является положительным числом.
Модуль положительного числа равен самому числу, поэтому $|\sqrt{2}-1| = \sqrt{2}-1$.
Ответ: $\sqrt{2}-1$.

г) Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = \sqrt{2}-2$. Выражение становится равным $|\sqrt{2}-2|$.
Оценим знак выражения $\sqrt{2}-2$. Так как $2 < 4$, то $\sqrt{2} < \sqrt{4}$, что означает $\sqrt{2} < 2$. Следовательно, разность $\sqrt{2}-2$ является отрицательным числом.
Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, поэтому $|\sqrt{2}-2| = -(\sqrt{2}-2) = 2 - \sqrt{2}$.
Ответ: $2 - \sqrt{2}$.

д) Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = \sqrt{2}-\sqrt{3}$. Выражение становится равным $|\sqrt{2}-\sqrt{3}|$.
Оценим знак выражения $\sqrt{2}-\sqrt{3}$. Так как $2 < 3$, то $\sqrt{2} < \sqrt{3}$. Следовательно, разность $\sqrt{2}-\sqrt{3}$ является отрицательным числом.
Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, поэтому $|\sqrt{2}-\sqrt{3}| = -(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{3} - \sqrt{2}$.

е) Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = \sqrt{5}-\sqrt{7}$. Выражение становится равным $|\sqrt{5}-\sqrt{7}|$.
Оценим знак выражения $\sqrt{5}-\sqrt{7}$. Так как $5 < 7$, то $\sqrt{5} < \sqrt{7}$. Следовательно, разность $\sqrt{5}-\sqrt{7}$ является отрицательным числом.
Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, поэтому $|\sqrt{5}-\sqrt{7}| = -(\sqrt{5}-\sqrt{7}) = \sqrt{7} - \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{7} - \sqrt{5}$.

295. Упростите выражение:

а) $ \sqrt[3]{32} $;

б) $ \sqrt[5]{800} $;

в) $ \sqrt[3]{48} - \sqrt[3]{750} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{162} $;

г) $ \sqrt[4]{80} $;

д) $ \sqrt[4]{405} $;

е) $ 30\sqrt[3]{\frac{1}{12}} + \frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{2}{3}} + 5\sqrt[3]{144} $;

ж) $ \sqrt[4]{81 \cdot (4 - \sqrt{17})^4} $;

з) $ \sqrt[3]{0.001} - \sqrt[6]{0.000064} $.

а) Чтобы упростить выражение $ \sqrt[3]{32} $, вынесем множитель из-под знака корня. Для этого разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был точным кубом. Число $32$ можно представить как $ 8 \cdot 4 $, где $8$ является кубом числа $2$ ($ 2^3=8 $).
$ \sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{8 \cdot 4} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 4} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{4} = 2\sqrt[3]{4} $.
Ответ: $ 2\sqrt[3]{4} $.

б) Для упрощения $ \sqrt[5]{800} $ разложим число $800$ на множители, чтобы выделить множитель, являющийся пятой степенью какого-либо числа. $ 800 = 8 \cdot 100 = 2^3 \cdot 10^2 = 2^3 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^3 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^5 \cdot 5^2 $. Теперь извлечем корень: $ \sqrt[5]{800} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 5^2} = \sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{5^2} = 2\sqrt[5]{25} $.
Ответ: $ 2\sqrt[5]{25} $.

в) Рассмотрим выражение $ \sqrt[3]{48} - \sqrt[3]{750} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{162} $. Для его упрощения необходимо привести все слагаемые к общему виду, вынося множители из-под знака корня. Общим подкоренным выражением, скорее всего, будет $6$.
$ \sqrt[3]{48} = \sqrt[3]{8 \cdot 6} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 6} = 2\sqrt[3]{6} $.
$ \sqrt[3]{750} = \sqrt[3]{125 \cdot 6} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 6} = 5\sqrt[3]{6} $.
$ \sqrt[3]{162} = \sqrt[3]{27 \cdot 6} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 6} = 3\sqrt[3]{6} $.
Подставим упрощенные значения в исходное выражение: $ 2\sqrt[3]{6} - 5\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{6} + 3\sqrt[3]{6} $.
Сгруппируем коэффициенты: $ (2 - 5 + 1 + 3)\sqrt[3]{6} = 1 \cdot \sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{6} $.
Ответ: $ \sqrt[3]{6} $.

г) Чтобы упростить $ \sqrt[4]{80} $, разложим $80$ на множители, выделив четвертую степень. $ 80 = 16 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5 $.
$ \sqrt[4]{80} = \sqrt[4]{16 \cdot 5} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{5} = 2\sqrt[4]{5} $.
Ответ: $ 2\sqrt[4]{5} $.

д) Для упрощения $ \sqrt[4]{405} $ разложим $405$ на множители. $ 405 = 81 \cdot 5 = 3^4 \cdot 5 $.
$ \sqrt[4]{405} = \sqrt[4]{81 \cdot 5} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{5} = 3\sqrt[4]{5} $.
Ответ: $ 3\sqrt[4]{5} $.

е) Упростим выражение $ 30\sqrt[3]{\frac{1}{12}} + \frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{2}{3}} + 5\sqrt[3]{144} $. Для этого приведем все члены к общему подкоренному выражению.
1. Упростим первый член: $ 30\sqrt[3]{\frac{1}{12}} $. Чтобы избавиться от дроби под корнем, домножим числитель и знаменатель на такое число, чтобы знаменатель стал точным кубом. $ 12 = 2^2 \cdot 3 $. Чтобы получить куб, нужно домножить на $ 2 \cdot 3^2 = 18 $. $ 30\sqrt[3]{\frac{1}{12}} = 30\sqrt[3]{\frac{1 \cdot 18}{12 \cdot 18}} = 30\sqrt[3]{\frac{18}{216}} = 30\frac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{6^3}} = 30\frac{\sqrt[3]{18}}{6} = 5\sqrt[3]{18} $.
2. Упростим второй член: $ \frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{2}{3}} $. Домножим числитель и знаменатель дроби под корнем на $3^2=9$. $ \frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{2}{3}} = \frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 9}} = \frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{18}{27}} = \frac{7}{2}\frac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{3^3}} = \frac{7}{2}\frac{\sqrt[3]{18}}{3} = \frac{7}{6}\sqrt[3]{18} $.
3. Упростим третий член: $ 5\sqrt[3]{144} $. $ 144 = 8 \cdot 18 = 2^3 \cdot 18 $. $ 5\sqrt[3]{144} = 5\sqrt[3]{8 \cdot 18} = 5\sqrt[3]{2^3 \cdot 18} = 5 \cdot 2\sqrt[3]{18} = 10\sqrt[3]{18} $.
Теперь сложим полученные выражения: $ 5\sqrt[3]{18} + \frac{7}{6}\sqrt[3]{18} + 10\sqrt[3]{18} = (5 + \frac{7}{6} + 10)\sqrt[3]{18} = (15 + \frac{7}{6})\sqrt[3]{18} = (\frac{90}{6} + \frac{7}{6})\sqrt[3]{18} = \frac{97}{6}\sqrt[3]{18} $.
Ответ: $ \frac{97}{6}\sqrt[3]{18} $.

ж) Упростим $ \sqrt[4]{81 \cdot (4-\sqrt{17})^4} $. Используем свойство корня из произведения $ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} $ (для $ a, b \ge 0 $). $ \sqrt[4]{81 \cdot (4-\sqrt{17})^4} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{(4-\sqrt{17})^4} $.
Вычислим каждый множитель: $ \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3 $.
Для второго множителя используем свойство $ \sqrt[n]{x^n} = |x| $ для четного $n$. $ \sqrt[4]{(4-\sqrt{17})^4} = |4-\sqrt{17}| $.
Определим знак выражения в модуле. Сравним $4$ и $\sqrt{17}$. Для этого сравним их квадраты: $4^2 = 16$ и $(\sqrt{17})^2 = 17$. Поскольку $16 < 17$, то $4 < \sqrt{17}$, значит, разность $4 - \sqrt{17}$ отрицательна. По определению модуля, $|x| = -x$, если $x < 0$. Следовательно, $|4-\sqrt{17}| = -(4-\sqrt{17}) = \sqrt{17}-4$. Перемножим результаты: $3 \cdot (\sqrt{17}-4) = 3\sqrt{17}-12$.
Ответ: $ 3\sqrt{17}-12 $.

з) Рассмотрим выражение $ \sqrt[3]{0,001} - \sqrt[6]{0,000064} $.
Упростим каждый член по отдельности.
$ \sqrt[3]{0,001} = \sqrt[3]{(0,1)^3} = 0,1 $.
$ \sqrt[6]{0,000064} = \sqrt[6]{64 \cdot 10^{-6}} = \sqrt[6]{2^6 \cdot (10^{-1})^6} = \sqrt[6]{(2 \cdot 10^{-1})^6} = \sqrt[6]{(0,2)^6} = 0,2 $.
Теперь выполним вычитание: $ 0,1 - 0,2 = -0,1 $.
Ответ: $ -0,1 $.

296¹. Упростите выражение:

а) $\sqrt[4]{m^4}$;

б) $\sqrt[4]{(-m)^4}$;

в) $\sqrt{(x-1)^2}$, если $x < 1$;

г) $\sqrt{(1-x)^2}$, если $x \geq 1$.

а) Упростим выражение $\sqrt[4]{m^4}$.

По определению арифметического корня четной степени, для любого числа $a$ и натурального числа $k$ выполняется тождество $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$. В данном случае показатель корня и показатель степени подкоренного выражения равны 4 (четное число). Следовательно, мы можем применить это свойство:

$\sqrt[4]{m^4} = |m|$

Ответ: $|m|$

б) Упростим выражение $\sqrt[4]{(-m)^4}$.

Аналогично пункту а), мы имеем корень четной степени (4) из выражения, возведенного в ту же степень. Применяем свойство $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$. В этом случае подкоренное выражение $a = -m$.

$\sqrt[4]{(-m)^4} = |-m|$

Модуль противоположных чисел равен, то есть $|-m| = |m|$.

Ответ: $|m|$

в) Упростим выражение $\sqrt{(x-1)^2}$, если $x < 1$.

Квадратный корень является корнем второй степени (четной), поэтому для любого выражения $a$ справедливо равенство $\sqrt{a^2} = |a|$. Применяя это правило, получаем:

$\sqrt{(x-1)^2} = |x-1|$

Теперь воспользуемся условием $x < 1$. Если $x$ меньше 1, то разность $x-1$ будет отрицательной, то есть $x-1 < 0$. По определению модуля, если выражение под знаком модуля отрицательно, то его модуль равен противоположному выражению: $|b| = -b$, если $b < 0$.

Следовательно, $|x-1| = -(x-1) = -x + 1 = 1-x$.

Ответ: $1-x$

г) Упростим выражение $\sqrt{(1-x)^2}$, если $x \ge 1$.

Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(1-x)^2} = |1-x|$

Рассмотрим условие $x \ge 1$. Из этого неравенства следует, что $1-x \le 0$ (разность будет отрицательной или равной нулю). По определению модуля, если выражение под знаком модуля неположительно, то его модуль равен противоположному выражению: $|b| = -b$, если $b \le 0$.

Следовательно, $|1-x| = -(1-x) = -1 + x = x-1$.

Ответ: $x-1$

297. Для каких чисел a имеет смысл выражение:

а) $ \sqrt{2a} $;

б) $ \sqrt[3]{a-1} $;

в) $ \sqrt[4]{-a} $;

г) $ \sqrt[5]{1-a} $?

¹Здесь и далее буквами обозначены числа, для которых рассматриваемые выражения имеют смысл.

а) Выражение $\sqrt{2a}$ представляет собой арифметический квадратный корень. По определению, корень четной степени (в данном случае степень равна 2) имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно. Поэтому для того, чтобы выражение имело смысл, необходимо выполнение условия:
$2a \ge 0$
Разделив обе части неравенства на 2, получим:
$a \ge 0$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех неотрицательных значениях $a$.
Ответ: $a \ge 0$.

б) Выражение $\sqrt[3]{a-1}$ представляет собой корень нечетной степени (кубический корень, степень равна 3). Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения, так как можно извлечь корень нечетной степени из положительного, отрицательного числа или нуля. Следовательно, выражение $a-1$ может быть любым действительным числом, и никаких ограничений на переменную $a$ не накладывается.
Ответ: $a$ — любое число.

в) Выражение $\sqrt[4]{-a}$ представляет собой корень четной степени (степень равна 4). Как и в случае с квадратным корнем, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Таким образом, имеем следующее условие:
$-a \ge 0$
Чтобы найти $a$, умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$a \le 0$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех неположительных значениях $a$.
Ответ: $a \le 0$.

г) Выражение $\sqrt[5]{1-a}$ представляет собой корень нечетной степени (степень равна 5). Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения. Значит, выражение $1-a$ может принимать любые значения, и для переменной $a$ нет никаких ограничений.
Ответ: $a$ — любое число.