Страница 95 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

304. Сформулируйте свойства корней степени $n$.

Свойства корней степени $n$ (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) формулируются для арифметических корней, то есть для случаев, когда подкоренные выражения неотрицательны. Пусть $a \ge 0$, $b \ge 0$, а $n, m, k$ — натуральные числа, $n \ge 2, m \ge 2$.

1. Корень из произведения

Корень $n$-й степени из произведения неотрицательных сомножителей равен произведению корней $n$-й степени из этих сомножителей.
Формула: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
Это свойство справедливо и для любого количества неотрицательных сомножителей. Если показатель корня $n$ — нечетное число, то свойство справедливо и для отрицательных значений $a$ и $b$.
Ответ: $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ (при $a \ge 0, b \ge 0$).

2. Корень из частного (дроби)

Корень $n$-й степени из частного (дроби) равен частному от деления корня $n$-й степени из делимого (числителя) на корень $n$-й степени из делителя (знаменателя), при условии, что делимое неотрицательно, а делитель положителен.
Формула: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ (при $b \ne 0$).
Если показатель корня $n$ — нечетное число, то свойство справедливо для любого $a$ и $b \ne 0$.
Ответ: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ (при $a \ge 0, b > 0$).

3. Возведение корня в степень

Чтобы возвести корень $n$-й степени из неотрицательного числа в натуральную степень $k$, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение, оставив показатель корня прежним.
Формула: $(\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k}$.
Если показатель корня $n$ — нечетное число, то свойство справедливо для любого значения $a$.
Ответ: $(\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k}$ (при $a \ge 0$).

4. Извлечение корня из корня

Чтобы извлечь корень из корня из неотрицательного числа, нужно перемножить показатели корней, оставив подкоренное выражение без изменений.
Формула: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
Ответ: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$ (при $a \ge 0$).

5. Основное свойство корня

Значение корня из неотрицательного числа не изменится, если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число $k$.
Формула: $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$.
Ответ: $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ (при $a \ge 0$).

6. Тождество $\sqrt[n]{a^n}$

Это свойство зависит от четности показателя корня $n$.
Если $n$ — четное число ($n=2k$), то для любого действительного числа $a$ справедливо равенство: $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$.
Если $n$ — нечетное число ($n=2k+1$), то для любого действительного числа $a$ справедливо равенство: $\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}} = a$.
Ответ: $\sqrt[n]{a^n} = |a|$, если $n$ — четное; $\sqrt[n]{a^n} = a$, если $n$ — нечетное.

305. Верно ли равенство:

а) $\sqrt[2m+1]{a^{2m+1}} = a$, где $a$ — любое действительное число;

б) $\sqrt[2m]{a^{2m}} = |a|$, где $a$ — любое действительное число;

в) $\sqrt[n]{a^p} = (\sqrt[n]{a})^p$, если $n$ — натуральное число, $n \ge 2$, $p$ — целое число, $a$ — положительное число?

а)

Рассмотрим равенство $\sqrt[2m+1]{a^{2m+1}} = a$, где $a$ — любое действительное число. Предполагается, что $m$ — натуральное число, тогда показатель корня $2m+1$ — это нечетное натуральное число, большее или равное 3.

По определению корня нечетной степени $n$, для любого действительного числа $b$ существует единственное действительное число $c$, такое что $c^n = b$. Это число $c$ и называется корнем $n$-й степени из $b$ и обозначается как $\sqrt[n]{b}$.

В данном случае степень корня $n = 2m+1$ является нечетным числом. Обозначим левую часть равенства как $c = \sqrt[2m+1]{a^{2m+1}}$. Согласно определению, это означает, что должно выполняться равенство $c^{2m+1} = a^{2m+1}$.

Поскольку степень $2m+1$ нечетная, уравнение $c^{2m+1} = a^{2m+1}$ имеет единственное действительное решение $c = a$. Это справедливо для любого действительного числа $a$, как положительного, так и отрицательного, и для $a=0$.

Например, если $a = 2, m=1$: $\sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8} = 2$. Если $a = -2, m=1$: $\sqrt[3]{(-2)^3} = \sqrt[3]{-8} = -2$. Таким образом, данное равенство является тождеством.

Ответ: Да, равенство верно.

б)

Рассмотрим равенство $\sqrt[2m]{a^{2m}} = |a|$, где $a$ — любое действительное число. Предполагается, что $m$ — натуральное число, тогда показатель корня $2m$ — это четное натуральное число, большее или равное 2.

По определению арифметического корня четной степени $n$, для любого неотрицательного числа $b$ ($\text{т.е. } b \ge 0$) корнем $n$-й степени называется такое неотрицательное число $c$ ($\text{т.е. } c \ge 0$), что $c^n = b$. Обозначается как $\sqrt[n]{b}$.

В нашем случае степень корня $n = 2m$ является четным числом. Подкоренное выражение $a^{2m} = (a^2)^m$ всегда неотрицательно ($a^{2m} \ge 0$) для любого действительного числа $a$, поэтому корень определен.

Обозначим левую часть равенства как $c = \sqrt[2m]{a^{2m}}$. По определению арифметического корня, $c$ должно быть неотрицательным ($c \ge 0$) и должно выполняться равенство $c^{2m} = a^{2m}$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $a \ge 0$, то $|a| = a$. Тогда равенство принимает вид $\sqrt[2m]{a^{2m}} = a$. Так как $a \ge 0$, это верно по определению арифметического корня.

2. Если $a < 0$, то $|a| = -a$. В этом случае $-a > 0$. Подкоренное выражение $a^{2m} = (-1 \cdot (-a))^{2m} = (-1)^{2m} \cdot (-a)^{2m} = 1 \cdot (-a)^{2m} = (-a)^{2m}$. Тогда $\sqrt[2m]{a^{2m}} = \sqrt[2m]{(-a)^{2m}}$. Поскольку $-a > 0$, по определению арифметического корня $\sqrt[2m]{(-a)^{2m}} = -a$. А так как для $a<0$ имеем $|a| = -a$, то левая часть равна правой.

В обоих случаях мы получаем, что $\sqrt[2m]{a^{2m}} = |a|$. Таким образом, данное равенство является тождеством.

Ответ: Да, равенство верно.

в)

Рассмотрим равенство $\sqrt[n]{a^p} = (\sqrt[n]{a})^p$, если $n$ — натуральное число, $n \ge 2$, $p$ — целое число, $a$ — положительное число ($a>0$).

Поскольку $a > 0$, обе части равенства определены для любых указанных $n$ и $p$.

Это равенство является одним из основных свойств степеней с рациональными показателями. Для любого $a > 0$, натурального $n \ge 2$ и целого $p$ справедливы следующие преобразования с использованием определения степени с рациональным показателем $a^{p/n} = \sqrt[n]{a^p}$:

1. Преобразуем левую часть: $\sqrt[n]{a^p}$ по определению равно $a^{\frac{p}{n}}$.

2. Преобразуем правую часть: $(\sqrt[n]{a})^p$. Так как $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$, то $(\sqrt[n]{a})^p = (a^{\frac{1}{n}})^p$. По свойству степеней $(x^y)^z = x^{yz}$, получаем $a^{\frac{1}{n} \cdot p} = a^{\frac{p}{n}}$.

Поскольку обе части равенства равны одному и тому же выражению $a^{\frac{p}{n}}$, они равны между собой.

Докажем это и другим способом, не используя степени с рациональным показателем. Пусть $x = (\sqrt[n]{a})^p$. Возведем обе части в степень $n$: $x^n = ((\sqrt[n]{a})^p)^n$. Используя свойство степеней $(b^k)^m = (b^m)^k$, получим: $x^n = ((\sqrt[n]{a})^n)^p$. По определению корня $n$-й степени, $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Значит, $x^n = a^p$.

Так как $a > 0$, то $\sqrt[n]{a} > 0$, и, следовательно, $x = (\sqrt[n]{a})^p > 0$ (за исключением случая $p=0$, когда $x=1$, или если бы $a=1$). По определению арифметического корня, если $x > 0$ и $x^n = a^p$, то $x = \sqrt[n]{a^p}$. Мы получили, что левая и правая части исходного равенства равны. Следовательно, равенство верно при заданных условиях.

Ответ: Да, равенство верно.

Вычислите (306–308):

306. а) $ (\sqrt{3})^2; $

б) $ \sqrt[3]{8^2}; $

в) $ \sqrt[3]{125^2}; $

г) $ \sqrt[4]{81^3}; $

д) $ \sqrt{49^3}; $

е) $ \sqrt[3]{27^2}; $

ж) $ \sqrt[4]{16^3}; $

з) $ \sqrt[5]{32^4}. $

а) По определению квадратного корня, возведение квадратного корня из числа в квадрат дает само это число. Таким образом, $(\sqrt{3})^2 = 3$.

Ответ: 3

б) Для вычисления выражения $\sqrt[3]{8^2}$ воспользуемся свойством корня $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$. Это позволяет сначала извлечь корень, а затем возвести результат в степень, что часто упрощает вычисления.
$\sqrt[3]{8^2} = (\sqrt[3]{8})^2$.
Так как $2^3=8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$.
Следовательно, $(\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

Ответ: 4

в) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$.
$\sqrt[3]{125^2} = (\sqrt[3]{125})^2$.
Находим корень третьей степени из 125: $\sqrt[3]{125} = 5$, потому что $5^3 = 125$.
Затем возводим результат в квадрат: $5^2 = 25$.

Ответ: 25

г) Применим то же свойство для вычисления $\sqrt[4]{81^3}$:
$\sqrt[4]{81^3} = (\sqrt[4]{81})^3$.
Корень четвертой степени из 81 равен 3, так как $3^4 = 81$.
Возводим 3 в куб: $3^3 = 27$.

Ответ: 27

д) Выражение $\sqrt{49^3}$ — это квадратный корень из $49^3$. Применим свойство $(\sqrt{a})^m = \sqrt{a^m}$.
$\sqrt{49^3} = (\sqrt{49})^3$.
Квадратный корень из 49 равен 7.
Возводим 7 в третью степень: $7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 343$.

Ответ: 343

е) Для вычисления $\sqrt[3]{27^2}$ снова используем свойство $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$:
$\sqrt[3]{27^2} = (\sqrt[3]{27})^2$.
Находим корень: $\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.
Возводим в квадрат: $3^2 = 9$.

Ответ: 9

ж) Вычисляем $\sqrt[4]{16^3}$, применяя свойство $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$:
$\sqrt[4]{16^3} = (\sqrt[4]{16})^3$.
Извлекаем корень четвертой степени из 16: $\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$.
Возводим результат в куб: $2^3 = 8$.

Ответ: 8

з) Для вычисления $\sqrt[5]{32^4}$ используем то же свойство:
$\sqrt[5]{32^4} = (\sqrt[5]{32})^4$.
Находим корень пятой степени из 32: $\sqrt[5]{32} = 2$, так как $2^5 = 32$.
Возводим результат в четвертую степень: $2^4 = 16$.

Ответ: 16

307. а) $\sqrt[4]{9^2}$;

б) $\sqrt[4]{25^2}$;

в) $\sqrt[6]{8^2}$;

г) $\sqrt[6]{16^3}$;

д) $\sqrt[6]{27^2}$;

е) $\sqrt[6]{81^3}$;

ж) $\sqrt[200]{49^{100}}$;

з) $\sqrt[300]{125^{100}}$.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt[4]{9^2}$, воспользуемся свойством корня, которое позволяет представить его в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Применим это свойство: $\sqrt[4]{9^2} = 9^{\frac{2}{4}}$.

Сократим дробь в показателе степени: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Получаем: $9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$.

Альтернативный способ решения — сначала представить основание степени 9 как $3^2$:

$\sqrt[4]{9^2} = \sqrt[4]{(3^2)^2} = \sqrt[4]{3^{2 \cdot 2}} = \sqrt[4]{3^4}$.

По определению корня n-ой степени, $\sqrt[n]{a^n} = a$ (для $a \ge 0$), поэтому $\sqrt[4]{3^4} = 3$.

Ответ: 3

б) Упростим выражение $\sqrt[4]{25^2}$, используя представление корня в виде степени с дробным показателем $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

$\sqrt[4]{25^2} = 25^{\frac{2}{4}} = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$.

Также можно сначала представить 25 как $5^2$:

$\sqrt[4]{25^2} = \sqrt[4]{(5^2)^2} = \sqrt[4]{5^4} = 5$.

Ответ: 5

в) Для выражения $\sqrt[6]{8^2}$ применим свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

$\sqrt[6]{8^2} = 8^{\frac{2}{6}} = 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8}$.

Так как $2^3 = 8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$.

Другой способ: представим 8 как $2^3$:

$\sqrt[6]{8^2} = \sqrt[6]{(2^3)^2} = \sqrt[6]{2^{3 \cdot 2}} = \sqrt[6]{2^6} = 2$.

Ответ: 2

г) Упростим $\sqrt[6]{16^3}$.

Используя дробные показатели: $\sqrt[6]{16^3} = 16^{\frac{3}{6}} = 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$.

Или, представив 16 как $4^2$ (или $2^4$):

$\sqrt[6]{16^3} = \sqrt[6]{(4^2)^3} = \sqrt[6]{4^{2 \cdot 3}} = \sqrt[6]{4^6} = 4$.

Ответ: 4

д) Решим $\sqrt[6]{27^2}$.

Перейдем к степеням с дробными показателями: $\sqrt[6]{27^2} = 27^{\frac{2}{6}} = 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27}$.

Так как $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{27} = 3$.

Альтернативно, $27=3^3$:

$\sqrt[6]{27^2} = \sqrt[6]{(3^3)^2} = \sqrt[6]{3^{3 \cdot 2}} = \sqrt[6]{3^6} = 3$.

Ответ: 3

е) Упростим выражение $\sqrt[6]{81^3}$.

С помощью дробных показателей: $\sqrt[6]{81^3} = 81^{\frac{3}{6}} = 81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9$.

Либо, зная что $81 = 9^2$:

$\sqrt[6]{81^3} = \sqrt[6]{(9^2)^3} = \sqrt[6]{9^{2 \cdot 3}} = \sqrt[6]{9^6} = 9$.

Ответ: 9

ж) Рассмотрим выражение $\sqrt[200]{49^{100}}$.

Здесь удобно использовать свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, которое позволяет сокращать показатель корня и показатель степени на общий множитель. Общий множитель для 200 и 100 равен 100.

$\sqrt[200]{49^{100}} = \sqrt[2 \cdot 100]{49^{1 \cdot 100}} = \sqrt[2]{49^1} = \sqrt{49} = 7$.

Использование дробных показателей дает тот же результат:

$\sqrt[200]{49^{100}} = 49^{\frac{100}{200}} = 49^{\frac{1}{2}} = \sqrt{49} = 7$.

Ответ: 7

з) Упростим $\sqrt[300]{125^{100}}$.

Сократим показатель корня и показатель степени на их общий делитель 100:

$\sqrt[300]{125^{100}} = \sqrt[3 \cdot 100]{125^{1 \cdot 100}} = \sqrt[3]{125^1} = \sqrt[3]{125}$.

Так как $5^3=125$, то $\sqrt[3]{125} = 5$.

Через дробные показатели:

$\sqrt[300]{125^{100}} = 125^{\frac{100}{300}} = 125^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5$.

Ответ: 5

308. а) $\sqrt[4]{81}$;

б) $\sqrt[4]{625}$;

в) $\sqrt[4]{160000}$;

г) $\sqrt[4]{0,0625}$;

д) $\sqrt[6]{729}$;

е) $\sqrt[6]{64000000}$;

ж) $\sqrt[6]{0,000729}$.

Например: $\sqrt[6]{64} = \sqrt[3]{8} = 2$.

а) Для того чтобы найти корень четвертой степени из 81, необходимо найти такое неотрицательное число, которое при возведении в четвертую степень даст 81. Таким числом является 3, так как $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$. Таким образом, $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.
Ответ: 3

б) Чтобы найти корень четвертой степени из 625, ищем число, которое в четвертой степени равно 625. Число 625 оканчивается на 5, поэтому его корень четвертой степени также должен оканчиваться на 5. Проверим число 5: $5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625$. Следовательно, $\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$.
Ответ: 5

в) Для вычисления корня из большого числа можно использовать свойство корня из произведения: $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$. Представим число 160000 как произведение $16 \times 10000$. Тогда $\sqrt[4]{160000} = \sqrt[4]{16 \times 10000} = \sqrt[4]{16} \times \sqrt[4]{10000}$. Так как $2^4 = 16$ и $10^4 = 10000$, то $\sqrt[4]{16} = 2$ и $\sqrt[4]{10000} = 10$. В результате получаем: $2 \times 10 = 20$.
Ответ: 20

г) Для вычисления корня из десятичной дроби удобно представить ее в виде обыкновенной дроби. $0,0625 = \frac{625}{10000}$. Используем свойство корня из дроби: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$. $\sqrt[4]{0,0625} = \sqrt[4]{\frac{625}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{10000}}$. Из предыдущих примеров мы знаем, что $\sqrt[4]{625} = 5$ и $\sqrt[4]{10000} = 10$. Тогда результат равен $\frac{5}{10} = 0,5$.
Ответ: 0,5

д) Чтобы найти корень шестой степени из 729, нужно найти число, которое при возведении в шестую степень даст 729. Проверим число 3: $3^6 = 3^2 \times 3^2 \times 3^2 = 9 \times 9 \times 9 = 81 \times 9 = 729$. Следовательно, $\sqrt[6]{729} = \sqrt[6]{3^6} = 3$.
Ответ: 3

е) Используем свойство корня из произведения. Представим подкоренное выражение в виде произведения: $64000000 = 64 \times 1000000$. $\sqrt[6]{64000000} = \sqrt[6]{64 \times 1000000} = \sqrt[6]{64} \times \sqrt[6]{1000000}$. Мы знаем, что $2^6 = 64$ и $10^6 = 1000000$. Поэтому $\sqrt[6]{64} = 2$ и $\sqrt[6]{1000000} = 10$. В результате получаем: $2 \times 10 = 20$.
Ответ: 20

ж) Представим десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: $0,000729 = \frac{729}{1000000}$. Применим свойство корня из дроби: $\sqrt[6]{0,000729} = \sqrt[6]{\frac{729}{1000000}} = \frac{\sqrt[6]{729}}{\sqrt[6]{1000000}}$. Из предыдущих заданий известно, что $\sqrt[6]{729} = 3$ и $\sqrt[6]{1000000} = 10$. Следовательно, результат равен $\frac{3}{10} = 0,3$.
Ответ: 0,3