Номер 308, страница 95 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

308. а) $\sqrt[4]{81}$;

б) $\sqrt[4]{625}$;

в) $\sqrt[4]{160000}$;

г) $\sqrt[4]{0,0625}$;

д) $\sqrt[6]{729}$;

е) $\sqrt[6]{64000000}$;

ж) $\sqrt[6]{0,000729}$.

Например: $\sqrt[6]{64} = \sqrt[3]{8} = 2$.

а) Для того чтобы найти корень четвертой степени из 81, необходимо найти такое неотрицательное число, которое при возведении в четвертую степень даст 81. Таким числом является 3, так как $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$. Таким образом, $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.
Ответ: 3

б) Чтобы найти корень четвертой степени из 625, ищем число, которое в четвертой степени равно 625. Число 625 оканчивается на 5, поэтому его корень четвертой степени также должен оканчиваться на 5. Проверим число 5: $5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625$. Следовательно, $\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$.
Ответ: 5

в) Для вычисления корня из большого числа можно использовать свойство корня из произведения: $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$. Представим число 160000 как произведение $16 \times 10000$. Тогда $\sqrt[4]{160000} = \sqrt[4]{16 \times 10000} = \sqrt[4]{16} \times \sqrt[4]{10000}$. Так как $2^4 = 16$ и $10^4 = 10000$, то $\sqrt[4]{16} = 2$ и $\sqrt[4]{10000} = 10$. В результате получаем: $2 \times 10 = 20$.
Ответ: 20

г) Для вычисления корня из десятичной дроби удобно представить ее в виде обыкновенной дроби. $0,0625 = \frac{625}{10000}$. Используем свойство корня из дроби: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$. $\sqrt[4]{0,0625} = \sqrt[4]{\frac{625}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{10000}}$. Из предыдущих примеров мы знаем, что $\sqrt[4]{625} = 5$ и $\sqrt[4]{10000} = 10$. Тогда результат равен $\frac{5}{10} = 0,5$.
Ответ: 0,5

д) Чтобы найти корень шестой степени из 729, нужно найти число, которое при возведении в шестую степень даст 729. Проверим число 3: $3^6 = 3^2 \times 3^2 \times 3^2 = 9 \times 9 \times 9 = 81 \times 9 = 729$. Следовательно, $\sqrt[6]{729} = \sqrt[6]{3^6} = 3$.
Ответ: 3

е) Используем свойство корня из произведения. Представим подкоренное выражение в виде произведения: $64000000 = 64 \times 1000000$. $\sqrt[6]{64000000} = \sqrt[6]{64 \times 1000000} = \sqrt[6]{64} \times \sqrt[6]{1000000}$. Мы знаем, что $2^6 = 64$ и $10^6 = 1000000$. Поэтому $\sqrt[6]{64} = 2$ и $\sqrt[6]{1000000} = 10$. В результате получаем: $2 \times 10 = 20$.
Ответ: 20

ж) Представим десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: $0,000729 = \frac{729}{1000000}$. Применим свойство корня из дроби: $\sqrt[6]{0,000729} = \sqrt[6]{\frac{729}{1000000}} = \frac{\sqrt[6]{729}}{\sqrt[6]{1000000}}$. Из предыдущих заданий известно, что $\sqrt[6]{729} = 3$ и $\sqrt[6]{1000000} = 10$. Следовательно, результат равен $\frac{3}{10} = 0,3$.
Ответ: 0,3