Номер 311, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

311. a) $\sqrt[3]{2c^2} \cdot \sqrt[3]{4c};$

б) $\sqrt[3]{9x} \cdot \sqrt[3]{9x^2};$

в) $\sqrt[11]{a} \cdot \sqrt[11]{b} \cdot \sqrt[11]{c};$

г) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[3]{x}.$

а) Для того чтобы перемножить корни с одинаковыми показателями, необходимо перемножить их подкоренные выражения, оставив показатель корня без изменений. Это соответствует свойству корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$. В данном задании показатель корня $n=3$.
$\sqrt[3]{2c^2} \cdot \sqrt[3]{4c} = \sqrt[3]{(2c^2) \cdot (4c)}$
Теперь выполним умножение выражений под знаком корня:
$2c^2 \cdot 4c = (2 \cdot 4) \cdot (c^2 \cdot c) = 8c^{2+1} = 8c^3$
Подставим полученное выражение обратно под корень:
$\sqrt[3]{8c^3}$
Извлечем корень кубический. Поскольку $8 = 2^3$, то:
$\sqrt[3]{8c^3} = \sqrt[3]{2^3 \cdot c^3} = \sqrt[3]{(2c)^3} = 2c$
Ответ: $2c$.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство умножения корней с одинаковым показателем ($n=3$):
$\sqrt[3]{9x} \cdot \sqrt[3]{9x^2} = \sqrt[3]{(9x) \cdot (9x^2)}$
Перемножим подкоренные выражения:
$9x \cdot 9x^2 = (9 \cdot 9) \cdot (x \cdot x^2) = 81x^{1+2} = 81x^3$
Получаем выражение:
$\sqrt[3]{81x^3}$
Для упрощения разложим число 81 на множители так, чтобы можно было извлечь кубический корень: $81 = 27 \cdot 3 = 3^3 \cdot 3$.
$\sqrt[3]{81x^3} = \sqrt[3]{27 \cdot 3 \cdot x^3} = \sqrt[3]{3^3 \cdot x^3 \cdot 3}$
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 3 \cdot x \cdot \sqrt[3]{3} = 3x\sqrt[3]{3}$
Ответ: $3x\sqrt[3]{3}$.

в) В данном случае мы имеем произведение трех корней с одинаковым показателем $n=11$. Свойство умножения корней распространяется и на три множителя: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{abc}$.
$\sqrt[11]{a} \cdot \sqrt[11]{b} \cdot \sqrt[11]{c} = \sqrt[11]{a \cdot b \cdot c}$
Поскольку в подкоренном выражении нет множителей, которые можно представить в виде 11-й степени, дальнейшее упрощение этого выражения невозможно.
Ответ: $\sqrt[11]{abc}$.

г) Снова применяем свойство умножения корней с одинаковым показателем $n=3$ для трех сомножителей:
$\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{a \cdot a^2 \cdot x}$
Упростим выражение под знаком корня, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$a \cdot a^2 \cdot x = a^{1+2} \cdot x = a^3x$
Получаем:
$\sqrt[3]{a^3x}$
Вынесем множитель $a^3$ из-под знака кубического корня:
$\sqrt[3]{a^3x} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{x} = a\sqrt[3]{x}$
Ответ: $a\sqrt[3]{x}$.