Номер 316, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

316. a) $\sqrt[4]{a^2}$;

б) $\sqrt[6]{a^3}$;

в) $\sqrt[4]{a^2b^2}$;

г) $\sqrt[6]{a^4b^2}$.

а) Для упрощения выражения $ \sqrt[4]{a^2} $ используется свойство корня $ \sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m} $. Данное тождество справедливо при условии, что переменные, входящие в выражение, неотрицательны, т.е. $a \ge 0$.
В данном выражении показатель корня равен 4, а показатель степени подкоренного выражения равен 2. Наибольший общий делитель (НОД) для 4 и 2 равен 2.
Сократим показатель корня и показатель степени на 2:
$ \sqrt[4]{a^2} = \sqrt[4:2]{a^{2:2}} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt{a} $.
Ответ: $ \sqrt{a} $.

б) Упростим выражение $ \sqrt[6]{a^3} $. Арифметический корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Поэтому выражение $ \sqrt[6]{a^3} $ имеет смысл только при $a^3 \ge 0$, что равносильно условию $a \ge 0$.
Воспользуемся свойством $ \sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m} $. Показатель корня равен 6, показатель степени — 3. НОД(6, 3) = 3.
Разделим показатель корня и показатель степени на 3:
$ \sqrt[6]{a^3} = \sqrt[6:3]{a^{3:3}} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt{a} $.
Ответ: $ \sqrt{a} $.

в) Упростим выражение $ \sqrt[4]{a^2b^2} $. Предполагая, что переменные $a$ и $b$ неотрицательны ($a \ge 0, b \ge 0$), преобразуем подкоренное выражение, используя свойство степеней $x^n y^n = (xy)^n$:
$ \sqrt[4]{a^2b^2} = \sqrt[4]{(ab)^2} $.
Теперь применим свойство $ \sqrt[nk]{x^{mk}} = \sqrt[n]{x^m} $ для выражения $x=ab$.
Показатель корня равен 4, показатель степени выражения $(ab)$ равен 2. НОД(4, 2) = 2.
$ \sqrt[4]{(ab)^2} = \sqrt[4:2]{(ab)^{2:2}} = \sqrt[2]{(ab)^1} = \sqrt{ab} $.
Ответ: $ \sqrt{ab} $.

г) Упростим выражение $ \sqrt[6]{a^4b^2} $. Преобразуем подкоренное выражение, вынеся общий показатель степени за скобки: $a^4b^2 = (a^2)^2 b^2 = (a^2b)^2$.
Таким образом, выражение принимает вид:
$ \sqrt[6]{(a^2b)^2} $.
Применим свойство $ \sqrt[nk]{x^{mk}} = \sqrt[n]{x^m} $, где $x = a^2b$. Это преобразование требует, чтобы $x \ge 0$, то есть $a^2b \ge 0$. Так как $a^2 \ge 0$ для любого действительного $a$, условие сводится к $b \ge 0$.
Показатель корня равен 6, показатель степени — 2. НОД(6, 2) = 2.
$ \sqrt[6]{(a^2b)^2} = \sqrt[6:2]{(a^2b)^{2:2}} = \sqrt[3]{(a^2b)^1} = \sqrt[3]{a^2b} $.
Ответ: $ \sqrt[3]{a^2b} $.