Страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

309¹. Вынесите множитель из-под знака корня:

а) $\sqrt[3]{80}$;

б) $\sqrt[3]{81}$;

в) $\sqrt[3]{250}$;

г) $\sqrt[3]{-648}$;

д) $\sqrt[5]{a^7b}$;

е) $\sqrt[4]{16c^5d^6}$, если $c > 0, d > 0$;

ж) $\sqrt[4]{5x^4}$, если $x < 0$;

з) $\sqrt[5]{3x^5y}$.

Например: $\sqrt[3]{16x^4y^6} = \sqrt[3]{2^4x^4y^6} = \sqrt[3]{2^3 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3 \cdot 2x} = \sqrt[3]{(2xy^2)^3} \times \sqrt[3]{2x} = 2xy^2\sqrt[3]{2x}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака кубического корня, разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был точным кубом. Число 80 можно представить как произведение $8 \cdot 10$, где $8 = 2^3$.

$\sqrt[3]{80} = \sqrt[3]{8 \cdot 10} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 10} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{10} = 2\sqrt[3]{10}$.

Ответ: $2\sqrt[3]{10}$.

б) Разложим число 81 на множители, выделив множитель, являющийся точным кубом. $81 = 3^4 = 3^3 \cdot 3 = 27 \cdot 3$.

$\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{27 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 3\sqrt[3]{3}$.

Ответ: $3\sqrt[3]{3}$.

в) Разложим число 250 на множители, выделив множитель, являющийся точным кубом. $250 = 125 \cdot 2 = 5^3 \cdot 2$.

$\sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{125 \cdot 2} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 5\sqrt[3]{2}$.

Ответ: $5\sqrt[3]{2}$.

г) Так как корень нечетной степени (кубический), знак минус можно вынести за знак корня. $\sqrt[3]{-648} = -\sqrt[3]{648}$. Разложим число 648 на простые множители: $648 = 216 \cdot 3 = 6^3 \cdot 3$.

$\sqrt[3]{-648} = \sqrt[3]{-216 \cdot 3} = \sqrt[3]{(-6)^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{(-6)^3} \cdot \sqrt[3]{3} = -6\sqrt[3]{3}$.

Ответ: $-6\sqrt[3]{3}$.

д) Представим множитель $a^7$ в виде произведения так, чтобы показатель степени одного из множителей был кратен 5. $a^7 = a^5 \cdot a^2$.

$\sqrt[5]{a^7b} = \sqrt[5]{a^5 \cdot a^2 \cdot b} = \sqrt[5]{a^5} \cdot \sqrt[5]{a^2b} = a\sqrt[5]{a^2b}$.

Ответ: $a\sqrt[5]{a^2b}$.

е) Разложим подкоренное выражение на множители, показатели степеней которых кратны 4. $16 = 2^4$, $c^5 = c^4 \cdot c$, $d^6 = d^4 \cdot d^2$.

$\sqrt[4]{16c^5d^6} = \sqrt[4]{2^4 \cdot c^4 \cdot c \cdot d^4 \cdot d^2} = \sqrt[4]{(2cd)^4 \cdot cd^2}$.

Используя свойство корня из произведения, получаем: $\sqrt[4]{(2cd)^4} \cdot \sqrt[4]{cd^2} = |2cd|\sqrt[4]{cd^2}$.

По условию $c > 0$ и $d > 0$, следовательно, $2cd > 0$, и $|2cd| = 2cd$.

Окончательный результат: $2cd\sqrt[4]{cd^2}$.

Ответ: $2cd\sqrt[4]{cd^2}$.

ж) Применяем свойство корня из произведения: $\sqrt[4]{5x^4} = \sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{x^4}$.

Поскольку корень четной степени (4), то $\sqrt[4]{x^4} = |x|$.

По условию задачи $x < 0$, следовательно, модуль отрицательного числа равен этому числу с противоположным знаком: $|x| = -x$.

Таким образом, $\sqrt[4]{5x^4} = |x|\sqrt[4]{5} = -x\sqrt[4]{5}$.

Ответ: $-x\sqrt[4]{5}$.

з) Показатель корня (5) — нечетное число. Разложим подкоренное выражение на множители: $\sqrt[5]{3x^5y} = \sqrt[5]{x^5 \cdot 3y}$.

Применим свойство корня из произведения: $\sqrt[5]{x^5} \cdot \sqrt[5]{3y}$.

Так как корень нечетной степени, $\sqrt[5]{x^5} = x$.

В результате получаем: $x\sqrt[5]{3y}$.

Ответ: $x\sqrt[5]{3y}$.

Упростите выражение (310—311).

310. а) $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$;

б) $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{18}$;

в) $5\sqrt[3]{2a} \cdot \sqrt[3]{4b}$;

г) $\sqrt[5]{a} \cdot 2\sqrt[5]{a^4}$.

а) Для того чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$, воспользуемся свойством корней, согласно которому произведение корней одной и той же степени равно корню той же степени из произведения подкоренных выражений: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

Применяя это свойство, получаем:

$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8}$.

Так как $2^3 = 8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$.

Ответ: 2

б) Упростим выражение $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{18}$. Используем то же свойство, что и в предыдущем пункте.

$\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{18} = \sqrt[3]{3 \cdot 18} = \sqrt[3]{54}$.

Теперь упростим корень из 54. Для этого разложим число 54 на множители так, чтобы один из них был точным кубом.

$54 = 27 \cdot 2 = 3^3 \cdot 2$.

Тогда $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}$.

Ответ: $3\sqrt[3]{2}$

в) Рассмотрим выражение $5\sqrt[3]{2a} \cdot \sqrt[3]{4b}$. Для его упрощения перемножим числовой коэффициент (в данном случае 5) на результат произведения корней.

$5\sqrt[3]{2a} \cdot \sqrt[3]{4b} = 5 \cdot (\sqrt[3]{2a} \cdot \sqrt[3]{4b}) = 5 \cdot \sqrt[3]{2a \cdot 4b} = 5\sqrt[3]{8ab}$.

Упростим подкоренное выражение. Число 8 является кубом числа 2 ($2^3 = 8$).

$5\sqrt[3]{8ab} = 5 \cdot \sqrt[3]{8 \cdot ab} = 5 \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{ab} = 5 \cdot 2 \cdot \sqrt[3]{ab} = 10\sqrt[3]{ab}$.

Ответ: $10\sqrt[3]{ab}$

г) Упростим выражение $\sqrt[5]{a} \cdot 2\sqrt[5]{a^4}$. Перемножим коэффициенты и подкоренные выражения.

$\sqrt[5]{a} \cdot 2\sqrt[5]{a^4} = 2 \cdot (\sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{a^4}) = 2 \cdot \sqrt[5]{a \cdot a^4}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a \cdot a^4 = a^1 \cdot a^4 = a^{1+4} = a^5$.

Получаем: $2\sqrt[5]{a^5}$.

Корень n-ой степени из выражения в n-ой степени равен самому выражению: $\sqrt[n]{x^n} = x$ (для нечетных n).

Следовательно, $\sqrt[5]{a^5} = a$.

Итоговое выражение: $2 \cdot a = 2a$.

Ответ: $2a$

311. a) $\sqrt[3]{2c^2} \cdot \sqrt[3]{4c};$

б) $\sqrt[3]{9x} \cdot \sqrt[3]{9x^2};$

в) $\sqrt[11]{a} \cdot \sqrt[11]{b} \cdot \sqrt[11]{c};$

г) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[3]{x}.$

а) Для того чтобы перемножить корни с одинаковыми показателями, необходимо перемножить их подкоренные выражения, оставив показатель корня без изменений. Это соответствует свойству корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$. В данном задании показатель корня $n=3$.
$\sqrt[3]{2c^2} \cdot \sqrt[3]{4c} = \sqrt[3]{(2c^2) \cdot (4c)}$
Теперь выполним умножение выражений под знаком корня:
$2c^2 \cdot 4c = (2 \cdot 4) \cdot (c^2 \cdot c) = 8c^{2+1} = 8c^3$
Подставим полученное выражение обратно под корень:
$\sqrt[3]{8c^3}$
Извлечем корень кубический. Поскольку $8 = 2^3$, то:
$\sqrt[3]{8c^3} = \sqrt[3]{2^3 \cdot c^3} = \sqrt[3]{(2c)^3} = 2c$
Ответ: $2c$.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство умножения корней с одинаковым показателем ($n=3$):
$\sqrt[3]{9x} \cdot \sqrt[3]{9x^2} = \sqrt[3]{(9x) \cdot (9x^2)}$
Перемножим подкоренные выражения:
$9x \cdot 9x^2 = (9 \cdot 9) \cdot (x \cdot x^2) = 81x^{1+2} = 81x^3$
Получаем выражение:
$\sqrt[3]{81x^3}$
Для упрощения разложим число 81 на множители так, чтобы можно было извлечь кубический корень: $81 = 27 \cdot 3 = 3^3 \cdot 3$.
$\sqrt[3]{81x^3} = \sqrt[3]{27 \cdot 3 \cdot x^3} = \sqrt[3]{3^3 \cdot x^3 \cdot 3}$
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 3 \cdot x \cdot \sqrt[3]{3} = 3x\sqrt[3]{3}$
Ответ: $3x\sqrt[3]{3}$.

в) В данном случае мы имеем произведение трех корней с одинаковым показателем $n=11$. Свойство умножения корней распространяется и на три множителя: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{abc}$.
$\sqrt[11]{a} \cdot \sqrt[11]{b} \cdot \sqrt[11]{c} = \sqrt[11]{a \cdot b \cdot c}$
Поскольку в подкоренном выражении нет множителей, которые можно представить в виде 11-й степени, дальнейшее упрощение этого выражения невозможно.
Ответ: $\sqrt[11]{abc}$.

г) Снова применяем свойство умножения корней с одинаковым показателем $n=3$ для трех сомножителей:
$\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{a \cdot a^2 \cdot x}$
Упростим выражение под знаком корня, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$a \cdot a^2 \cdot x = a^{1+2} \cdot x = a^3x$
Получаем:
$\sqrt[3]{a^3x}$
Вынесем множитель $a^3$ из-под знака кубического корня:
$\sqrt[3]{a^3x} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{x} = a\sqrt[3]{x}$
Ответ: $a\sqrt[3]{x}$.

Внесите множитель под знак корня (312—313):

312. а) $3\sqrt[3]{\frac{1}{9}}$;

б) $2\sqrt[4]{\frac{1}{8}}$;

в) $5\sqrt[3]{\frac{1}{a}}$;

г) $7\sqrt[5]{\frac{1}{b}}$.

а)

Чтобы внести множитель под знак корня, необходимо возвести этот множитель в степень, равную показателю корня, и записать результат под знаком корня в качестве множителя. В данном случае вносим множитель 3 под знак кубического корня.

$3\sqrt[3]{\frac{1}{9}} = \sqrt[3]{3^3 \cdot \frac{1}{9}} = \sqrt[3]{27 \cdot \frac{1}{9}} = \sqrt[3]{\frac{27}{9}} = \sqrt[3]{3}$

Ответ: $\sqrt[3]{3}$

б)

Вносим множитель 2 под знак корня четвертой степени. Для этого возводим 2 в четвертую степень.

$2\sqrt[4]{\frac{1}{8}} = \sqrt[4]{2^4 \cdot \frac{1}{8}} = \sqrt[4]{16 \cdot \frac{1}{8}} = \sqrt[4]{\frac{16}{8}} = \sqrt[4]{2}$

Ответ: $\sqrt[4]{2}$

в)

Вносим множитель 5 под знак кубического корня. Для этого возводим 5 в третью степень. При этом предполагается, что $a \neq 0$.

$5\sqrt[3]{\frac{1}{a}} = \sqrt[3]{5^3 \cdot \frac{1}{a}} = \sqrt[3]{125 \cdot \frac{1}{a}} = \sqrt[3]{\frac{125}{a}}$

Ответ: $\sqrt[3]{\frac{125}{a}}$

г)

Вносим множитель 7 под знак корня пятой степени. Для этого возводим 7 в пятую степень. При этом предполагается, что $b \neq 0$.

$7\sqrt[5]{\frac{1}{b}} = \sqrt[5]{7^5 \cdot \frac{1}{b}} = \sqrt[5]{16807 \cdot \frac{1}{b}} = \sqrt[5]{\frac{16807}{b}}$

Ответ: $\sqrt[5]{\frac{16807}{b}}$

313. а) $b \sqrt[3]{\frac{a}{b}}$;

б) $c \sqrt[3]{\frac{x^2}{c}}$;

в) $\frac{ay}{b} \sqrt[3]{\frac{b^2x}{a^2y}}$;

г) $\frac{a^2}{b} \sqrt[4]{\frac{b^2x}{a^7}}$, где $b > 0$.

а) Чтобы внести множитель $b$ под знак кубического корня, необходимо возвести его в третью степень. Это преобразование является тождественным при условии, что подкоренное выражение определено ($b \neq 0$).

$b \sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \sqrt[3]{b^3 \cdot \frac{a}{b}} = \sqrt[3]{\frac{b^3 a}{b}} = \sqrt[3]{ab^2}$

Ответ: $\sqrt[3]{ab^2}$

б) Внесем множитель $c$ под знак кубического корня, возведя его в третью степень. Предполагается, что $c \neq 0$.

$c \sqrt[3]{\frac{x^2}{c}} = \sqrt[3]{c^3 \cdot \frac{x^2}{c}} = \sqrt[3]{\frac{c^3 x^2}{c}} = \sqrt[3]{c^2 x^2}$

Ответ: $\sqrt[3]{c^2 x^2}$

в) Внесем множитель $\frac{ay}{b}$ под знак кубического корня. Для этого возведем всю дробь в третью степень. Предполагается, что переменные принимают значения, при которых выражение имеет смысл ($a \neq 0, b \neq 0, y \neq 0$).

$\frac{ay}{b} \sqrt[3]{\frac{b^2 x}{a^2 y}} = \sqrt[3]{(\frac{ay}{b})^3 \cdot \frac{b^2 x}{a^2 y}} = \sqrt[3]{\frac{a^3 y^3}{b^3} \cdot \frac{b^2 x}{a^2 y}} = \sqrt[3]{\frac{a^3 y^3 b^2 x}{b^3 a^2 y}}$

Теперь сократим степени переменных в подкоренном выражении:

$\sqrt[3]{\frac{a^{3-2} y^{3-1} x}{b^{3-2}}} = \sqrt[3]{\frac{axy^2}{b}}$

Ответ: $\sqrt[3]{\frac{axy^2}{b}}$

г) Внесем множитель $\frac{a^2}{b}$ под знак корня четвертой степени. Для этого необходимо возвести его в четвертую степень. По условию $b > 0$. Так как $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \geq 0$), то и весь множитель $\frac{a^2}{b} \geq 0$. Поэтому его можно вносить под корень четной степени без каких-либо дополнительных условий.

$\frac{a^2}{b} \sqrt[4]{\frac{b^2 x}{a^7}} = \sqrt[4]{(\frac{a^2}{b})^4 \cdot \frac{b^2 x}{a^7}} = \sqrt[4]{\frac{(a^2)^4}{b^4} \cdot \frac{b^2 x}{a^7}} = \sqrt[4]{\frac{a^8}{b^4} \cdot \frac{b^2 x}{a^7}} = \sqrt[4]{\frac{a^8 b^2 x}{b^4 a^7}}$

Сократим выражение под корнем. Для существования исходного выражения $a$ не должно быть равно нулю.

$\sqrt[4]{\frac{a^{8-7} x}{b^{4-2}}} = \sqrt[4]{\frac{ax}{b^2}}$

Ответ: $\sqrt[4]{\frac{ax}{b^2}}$

Упростите выражение (314–317):

314. а) $\frac{\sqrt[4]{m^3}}{\sqrt[4]{m}}$;
б) $\frac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[5]{x^4}}$;
в) $\frac{\sqrt[3]{a^5b}}{\sqrt[3]{a^2b^4}}$;
г) $\frac{\sqrt[4]{m^7n^5}}{\sqrt[4]{m^3n}}$.

а)

Для упрощения дроби $\frac{\sqrt[4]{m^3}}{\sqrt[4]{m}}$ воспользуемся свойством частного корней с одинаковым показателем: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$. Применим это свойство к нашему выражению:

$\frac{\sqrt[4]{m^3}}{\sqrt[4]{m}} = \sqrt[4]{\frac{m^3}{m}}$

Далее, упростим подкоренное выражение, используя свойство степеней $\frac{a^k}{a^l} = a^{k-l}$:

$\frac{m^3}{m} = m^{3-1} = m^2$

Подставим результат обратно под корень:

$\sqrt[4]{m^2}$

Теперь упростим сам корень, используя свойство $\sqrt[n]{a^k} = a^{\frac{k}{n}}$:

$\sqrt[4]{m^2} = m^{\frac{2}{4}} = m^{\frac{1}{2}} = \sqrt{m}$

Ответ: $\sqrt{m}$

б)

Упростим выражение $\frac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[5]{x^4}}$. Так как показатели корней в числителе и знаменателе одинаковы, объединим их под один корень:

$\frac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[5]{x^4}} = \sqrt[5]{\frac{x^2}{x^4}}$

Упростим дробь под знаком корня, применив правило деления степеней с одинаковым основанием:

$\frac{x^2}{x^4} = x^{2-4} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$

Получаем выражение:

$\sqrt[5]{\frac{1}{x^2}}$

Используя свойство корня из дроби, можем записать его в виде:

$\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{x^2}} = \frac{1}{\sqrt[5]{x^2}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[5]{x^2}}$

в)

Для упрощения выражения $\frac{\sqrt[3]{a^5b}}{\sqrt[3]{a^2b^4}}$ применим свойство частного корней:

$\frac{\sqrt[3]{a^5b}}{\sqrt[3]{a^2b^4}} = \sqrt[3]{\frac{a^5b}{a^2b^4}}$

Упростим подкоренное выражение, сгруппировав степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{a^5b}{a^2b^4} = \frac{a^5}{a^2} \cdot \frac{b^1}{b^4} = a^{5-2} \cdot b^{1-4} = a^3 \cdot b^{-3} = \frac{a^3}{b^3}$

Подставим упрощенную дробь обратно под корень:

$\sqrt[3]{\frac{a^3}{b^3}} = \sqrt[3]{(\frac{a}{b})^3}$

Так как показатель корня и показатель степени подкоренного выражения равны 3 (нечетное число), то:

$\sqrt[3]{(\frac{a}{b})^3} = \frac{a}{b}$

Ответ: $\frac{a}{b}$

г)

Упростим выражение $\frac{\sqrt[4]{m^7n^5}}{\sqrt[4]{m^3n}}$, используя свойство частного корней с одинаковым показателем:

$\frac{\sqrt[4]{m^7n^5}}{\sqrt[4]{m^3n}} = \sqrt[4]{\frac{m^7n^5}{m^3n}}$

Упростим выражение под знаком корня:

$\frac{m^7n^5}{m^3n} = \frac{m^7}{m^3} \cdot \frac{n^5}{n^1} = m^{7-3} \cdot n^{5-1} = m^4n^4$

Получим выражение:

$\sqrt[4]{m^4n^4} = \sqrt[4]{(mn)^4}$

Поскольку показатель корня (4) является четным числом, при извлечении корня из выражения в четной степени результатом будет модуль этого выражения: $\sqrt[k]{x^k} = |x|$ при четном $k$.

$\sqrt[4]{(mn)^4} = |mn|$

Рассмотрим область допустимых значений исходного выражения. Выражения под знаком корня четвертой степени должны быть неотрицательными, а знаменатель не должен равняться нулю. Следовательно, $m^3n > 0$. Это неравенство выполняется, когда переменные $m$ и $n$ имеют одинаковые знаки (либо $m > 0$ и $n > 0$, либо $m < 0$ и $n < 0$). В обоих случаях произведение $mn$ будет положительным. Поэтому $|mn| = mn$.

Ответ: $mn$

315. а) $ (\sqrt[3]{x})^2; $

б) $ (\sqrt[4]{m})^5; $

в) $ (\sqrt[5]{ab^4})^2; $

г) $ (\sqrt[3]{4x^3y^2})^2. $

а) Для упрощения выражения $(\sqrt[3]{x})^2$ используется свойство возведения корня в степень: $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$. Согласно этому свойству, можно внести показатель степени, в которую возводится корень, под знак этого корня в качестве показателя степени подкоренного выражения.

Применяя данное правило, получаем:

$(\sqrt[3]{x})^2 = \sqrt[3]{x^2}$

Дальнейшее упрощение невозможно, так как степень подкоренного выражения (2) меньше показателя корня (3).

Ответ: $\sqrt[3]{x^2}$.

б) Упростим выражение $(\sqrt[4]{m})^5$.

Используем то же свойство, что и в предыдущем пункте: $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$.

$(\sqrt[4]{m})^5 = \sqrt[4]{m^5}$

Поскольку степень подкоренного выражения (5) больше показателя корня (4), мы можем вынести часть множителей из-под знака корня. Для этого представим $m^5$ в виде произведения $m^4 \cdot m$:

$\sqrt[4]{m^5} = \sqrt[4]{m^4 \cdot m} = \sqrt[4]{m^4} \cdot \sqrt[4]{m}$

Так как $\sqrt[4]{m^4} = m$ (для $m \ge 0$), получаем:

$m\sqrt[4]{m}$

Ответ: $m\sqrt[4]{m}$.

в) Рассмотрим выражение $(\sqrt[5]{ab^4})^2$.

Возводим подкоренное выражение в степень 2, используя свойство $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$:

$(\sqrt[5]{ab^4})^2 = \sqrt[5]{(ab^4)^2}$

Теперь раскроем скобки под корнем, используя свойство степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$ и свойство степени степени $(x^m)^n = x^{mn}$:

$\sqrt[5]{a^2(b^4)^2} = \sqrt[5]{a^2b^{4 \cdot 2}} = \sqrt[5]{a^2b^8}$

Степень множителя $b$ (равная 8) больше показателя корня (равного 5), поэтому можно вынести множитель из-под знака корня. Представим $b^8$ как $b^5 \cdot b^3$:

$\sqrt[5]{a^2b^8} = \sqrt[5]{a^2 \cdot b^5 \cdot b^3} = \sqrt[5]{b^5} \cdot \sqrt[5]{a^2b^3}$

Поскольку $\sqrt[5]{b^5} = b$, окончательное выражение имеет вид:

$b\sqrt[5]{a^2b^3}$

Ответ: $b\sqrt[5]{a^2b^3}$.

г) Упростим выражение $(\sqrt[3]{4x^3y^2})^2$.

Внесем степень 2 под знак корня:

$(\sqrt[3]{4x^3y^2})^2 = \sqrt[3]{(4x^3y^2)^2}$

Возведем в квадрат каждый множитель в скобках:

$\sqrt[3]{4^2 \cdot (x^3)^2 \cdot (y^2)^2} = \sqrt[3]{16 \cdot x^{3 \cdot 2} \cdot y^{2 \cdot 2}} = \sqrt[3]{16x^6y^4}$

Теперь упростим подкоренное выражение, вынеся множители из-под знака кубического корня. Для этого представим числовые и буквенные множители в виде произведения степеней, кратных 3, и остальных сомножителей.

$16 = 8 \cdot 2 = 2^3 \cdot 2$

$x^6 = (x^2)^3$

$y^4 = y^3 \cdot y$

Подставим эти выражения под корень:

$\sqrt[3]{16x^6y^4} = \sqrt[3]{(2^3 \cdot 2) \cdot (x^2)^3 \cdot (y^3 \cdot y)} = \sqrt[3]{2^3 \cdot (x^2)^3 \cdot y^3 \cdot 2y}$

Выносим множители, степени которых равны показателю корня:

$\sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{(x^2)^3} \cdot \sqrt[3]{y^3} \cdot \sqrt[3]{2y} = 2 \cdot x^2 \cdot y \cdot \sqrt[3]{2y}$

Ответ: $2x^2y\sqrt[3]{2y}$.

316. a) $\sqrt[4]{a^2}$;

б) $\sqrt[6]{a^3}$;

в) $\sqrt[4]{a^2b^2}$;

г) $\sqrt[6]{a^4b^2}$.

а) Для упрощения выражения $ \sqrt[4]{a^2} $ используется свойство корня $ \sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m} $. Данное тождество справедливо при условии, что переменные, входящие в выражение, неотрицательны, т.е. $a \ge 0$.
В данном выражении показатель корня равен 4, а показатель степени подкоренного выражения равен 2. Наибольший общий делитель (НОД) для 4 и 2 равен 2.
Сократим показатель корня и показатель степени на 2:
$ \sqrt[4]{a^2} = \sqrt[4:2]{a^{2:2}} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt{a} $.
Ответ: $ \sqrt{a} $.

б) Упростим выражение $ \sqrt[6]{a^3} $. Арифметический корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Поэтому выражение $ \sqrt[6]{a^3} $ имеет смысл только при $a^3 \ge 0$, что равносильно условию $a \ge 0$.
Воспользуемся свойством $ \sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m} $. Показатель корня равен 6, показатель степени — 3. НОД(6, 3) = 3.
Разделим показатель корня и показатель степени на 3:
$ \sqrt[6]{a^3} = \sqrt[6:3]{a^{3:3}} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt{a} $.
Ответ: $ \sqrt{a} $.

в) Упростим выражение $ \sqrt[4]{a^2b^2} $. Предполагая, что переменные $a$ и $b$ неотрицательны ($a \ge 0, b \ge 0$), преобразуем подкоренное выражение, используя свойство степеней $x^n y^n = (xy)^n$:
$ \sqrt[4]{a^2b^2} = \sqrt[4]{(ab)^2} $.
Теперь применим свойство $ \sqrt[nk]{x^{mk}} = \sqrt[n]{x^m} $ для выражения $x=ab$.
Показатель корня равен 4, показатель степени выражения $(ab)$ равен 2. НОД(4, 2) = 2.
$ \sqrt[4]{(ab)^2} = \sqrt[4:2]{(ab)^{2:2}} = \sqrt[2]{(ab)^1} = \sqrt{ab} $.
Ответ: $ \sqrt{ab} $.

г) Упростим выражение $ \sqrt[6]{a^4b^2} $. Преобразуем подкоренное выражение, вынеся общий показатель степени за скобки: $a^4b^2 = (a^2)^2 b^2 = (a^2b)^2$.
Таким образом, выражение принимает вид:
$ \sqrt[6]{(a^2b)^2} $.
Применим свойство $ \sqrt[nk]{x^{mk}} = \sqrt[n]{x^m} $, где $x = a^2b$. Это преобразование требует, чтобы $x \ge 0$, то есть $a^2b \ge 0$. Так как $a^2 \ge 0$ для любого действительного $a$, условие сводится к $b \ge 0$.
Показатель корня равен 6, показатель степени — 2. НОД(6, 2) = 2.
$ \sqrt[6]{(a^2b)^2} = \sqrt[6:2]{(a^2b)^{2:2}} = \sqrt[3]{(a^2b)^1} = \sqrt[3]{a^2b} $.
Ответ: $ \sqrt[3]{a^2b} $.

317. a) $\sqrt[6]{27}$;

б) $\sqrt[6]{16}$;

в) $\sqrt[9]{64}$;

г) $\sqrt[12]{81}$.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt[6]{27}$ представим подкоренное число 27 в виде степени. Так как $27 = 3^3$, то выражение можно переписать в виде $\sqrt[6]{3^3}$.

Воспользуемся свойством корня: $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$. Это свойство позволяет сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель.

Общий делитель для показателя корня 6 и показателя степени 3 равен 3. Выполним сокращение: $\sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6 \div 3]{3^{3 \div 3}} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

б)

Для упрощения выражения $\sqrt[6]{16}$ представим число 16 в виде степени. Так как $16 = 2^4$, то выражение можно переписать как $\sqrt[6]{2^4}$.

Используя свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, найдем общий делитель для показателя корня 6 и показателя степени 4. Он равен 2.

Сократим показатели на 2: $\sqrt[6]{2^4} = \sqrt[6 \div 2]{2^{4 \div 2}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$.

Ответ: $\sqrt[3]{4}$

в)

Для упрощения выражения $\sqrt[9]{64}$ представим число 64 в виде степени. Так как $64 = 2^6$, то выражение можно переписать как $\sqrt[9]{2^6}$.

Общий делитель для показателя корня 9 и показателя степени 6 равен 3.

Применим свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ и сократим показатели на 3: $\sqrt[9]{2^6} = \sqrt[9 \div 3]{2^{6 \div 3}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$.

Ответ: $\sqrt[3]{4}$

г)

Для упрощения выражения $\sqrt[12]{81}$ представим число 81 в виде степени. Так как $81 = 3^4$, то выражение можно переписать как $\sqrt[12]{3^4}$.

Общий делитель для показателя корня 12 и показателя степени 4 равен 4.

Применим свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ и сократим показатели на 4: $\sqrt[12]{3^4} = \sqrt[12 \div 4]{3^{4 \div 4}} = \sqrt[3]{3^1} = \sqrt[3]{3}$.

Ответ: $\sqrt[3]{3}$

318. Запишите $\sqrt{a} (a \ge 0)$ как корень:

а) четвёртой степени;

б) шестой степени;

в) десятой степени;

г) шестнадцатой степени.

Для того чтобы записать выражение $\sqrt{a}$ в виде корня другой степени, мы воспользуемся основным свойством арифметического корня. Это свойство гласит, что если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится. В виде формулы это выглядит так: $\sqrt[n]{x^m} = \sqrt[n \cdot k]{x^{m \cdot k}}$, где $x \ge 0$, а $n$ и $k$ – натуральные числа.

Исходное выражение $\sqrt{a}$ является корнем второй степени из $a$ в первой степени, то есть $\sqrt[2]{a^1}$.

а) четвёртой степени

Чтобы представить $\sqrt{a}$ как корень четвёртой степени, нам нужно изменить показатель корня с 2 на 4. Для этого необходимо умножить показатель корня на 2, так как $2 \cdot 2 = 4$.

Согласно свойству, мы должны умножить на то же число 2 и показатель степени подкоренного выражения, который равен 1. Получаем новый показатель степени: $1 \cdot 2 = 2$.

Таким образом, преобразование выглядит следующим образом:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 2]{a^{1 \cdot 2}} = \sqrt[4]{a^2}$

Ответ: $\sqrt[4]{a^2}$

б) шестой степени

Чтобы представить $\sqrt{a}$ как корень шестой степени, нам нужно изменить показатель корня с 2 на 6. Для этого необходимо умножить показатель корня на 3, так как $2 \cdot 3 = 6$.

Показатель степени подкоренного выражения (1) также умножаем на 3. Получаем новый показатель степени: $1 \cdot 3 = 3$.

Выполняем преобразование:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{a^3}$

Ответ: $\sqrt[6]{a^3}$

в) десятой степени

Чтобы представить $\sqrt{a}$ как корень десятой степени, нам нужно изменить показатель корня с 2 на 10. Для этого необходимо умножить показатель корня на 5, так как $2 \cdot 5 = 10$.

Показатель степени подкоренного выражения (1) также умножаем на 5. Получаем новый показатель степени: $1 \cdot 5 = 5$.

Выполняем преобразование:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 5]{a^{1 \cdot 5}} = \sqrt[10]{a^5}$

Ответ: $\sqrt[10]{a^5}$

г) шестнадцатой степени

Чтобы представить $\sqrt{a}$ как корень шестнадцатой степени, нам нужно изменить показатель корня с 2 на 16. Для этого необходимо умножить показатель корня на 8, так как $2 \cdot 8 = 16$.

Показатель степени подкоренного выражения (1) также умножаем на 8. Получаем новый показатель степени: $1 \cdot 8 = 8$.

Выполняем преобразование:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 8]{a^{1 \cdot 8}} = \sqrt[16]{a^8}$

Ответ: $\sqrt[16]{a^8}$

319. Запишите $\sqrt{x} (x \ge 0)$ как корень:

а) восьмой степени;

б) двенадцатой степени;

в) двадцать четвёртой степени;

г) тридцатой степени.

Для решения задачи воспользуемся основным свойством арифметического корня, которое гласит, что для любого неотрицательного числа $a$ и натуральных чисел $n, m, k$ справедливо равенство: $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[nk]{a^{mk}}$. Это свойство позволяет умножить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на одно и то же натуральное число, не изменяя значения корня. Исходное выражение $\sqrt{x}$ является корнем второй степени из $x$, то есть $\sqrt[2]{x^1}$.

а) восьмой степени
Чтобы представить $\sqrt{x}$ как корень восьмой степени, нам нужно найти число, на которое следует умножить показатель корня (2), чтобы получить 8. Это число 4, так как $2 \cdot 4 = 8$. Согласно свойству корня, мы должны также возвести подкоренное выражение $x^1$ в степень 4.
Таким образом, получаем:
$\sqrt{x} = \sqrt[2]{x^1} = \sqrt[2 \cdot 4]{x^{1 \cdot 4}} = \sqrt[8]{x^4}$.
Ответ: $\sqrt[8]{x^4}$

б) двенадцатой степени
Чтобы представить $\sqrt{x}$ как корень двенадцатой степени, нам нужно умножить показатель корня 2 на 6, так как $2 \cdot 6 = 12$. Одновременно возводим подкоренное выражение $x$ в степень 6.
Выполним преобразование:
$\sqrt{x} = \sqrt[2]{x^1} = \sqrt[2 \cdot 6]{x^{1 \cdot 6}} = \sqrt[12]{x^6}$.
Ответ: $\sqrt[12]{x^6}$

в) двадцать четвёртой степени
Чтобы представить $\sqrt{x}$ как корень двадцать четвёртой степени, необходимо умножить показатель корня 2 на 12, так как $2 \cdot 12 = 24$. Подкоренное выражение $x$ при этом возводится в степень 12.
Выполним преобразование:
$\sqrt{x} = \sqrt[2]{x^1} = \sqrt[2 \cdot 12]{x^{1 \cdot 12}} = \sqrt[24]{x^{12}}$.
Ответ: $\sqrt[24]{x^{12}}$

г) тридцатой степени
Чтобы представить $\sqrt{x}$ как корень тридцатой степени, необходимо умножить показатель корня 2 на 15, так как $2 \cdot 15 = 30$. Подкоренное выражение $x$ при этом возводится в степень 15.
Выполним преобразование:
$\sqrt{x} = \sqrt[2]{x^1} = \sqrt[2 \cdot 15]{x^{1 \cdot 15}} = \sqrt[30]{x^{15}}$.
Ответ: $\sqrt[30]{x^{15}}$

320. Упростите числовое выражение:

а) $\sqrt{2\sqrt{3}}$;

б) $\sqrt[3]{3\sqrt{2}}$;

в) $\sqrt[3]{2\sqrt[3]{3}}$;

г) $\sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt{4}}}$;

д) $\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2}} : \sqrt[3]{\sqrt[3]{2}}$;

е) $\sqrt[3]{32\sqrt[4]{2}} \cdot \sqrt{2\sqrt[4]{4}}$.

¹Здесь и далее буквами обозначены числа, для которых рассматриваемые выражения имеют смысл.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt{2\sqrt{3}}$ внесем множитель 2 под внутренний знак корня. Для этого возведем его в квадрат:

$\sqrt{2\sqrt{3}} = \sqrt{\sqrt{2^2 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt{4 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt{12}}$

Далее воспользуемся свойством корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$. В данном случае $m=2$ и $n=2$ (квадратные корни):

$\sqrt{\sqrt{12}} = \sqrt[2 \cdot 2]{12} = \sqrt[4]{12}$

Ответ: $\sqrt[4]{12}$

б)

Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{3\sqrt{2}}$, внесем множитель 3 под внутренний знак квадратного корня, возведя его в квадрат:

$\sqrt[3]{3\sqrt{2}} = \sqrt[3]{\sqrt{3^2 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{9 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{18}}$

Используем свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$, где $m=3$ и $n=2$:

$\sqrt[3]{\sqrt{18}} = \sqrt[3 \cdot 2]{18} = \sqrt[6]{18}$

Ответ: $\sqrt[6]{18}$

в)

Для упрощения $\sqrt[3]{2\sqrt[3]{3}}$ внесем множитель 2 под внутренний кубический корень, возведя его в куб:

$\sqrt[3]{2\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{2^3 \cdot 3}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{8 \cdot 3}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{24}}$

Применяя свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$ с $m=3$ и $n=3$, получаем:

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{24}} = \sqrt[3 \cdot 3]{24} = \sqrt[9]{24}$

Ответ: $\sqrt[9]{24}$

г)

Упростим выражение $\sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt{4}}}$ пошагово, начиная с самого внутреннего корня:

1. Сначала вычислим $\sqrt{4} = 2$.

Выражение принимает вид: $\sqrt{2\sqrt[4]{4 \cdot 2}} = \sqrt{2\sqrt[4]{8}}$.

2. Теперь внесем множитель 2 под корень четвертой степени, возведя его в четвертую степень:

$\sqrt{2\sqrt[4]{8}} = \sqrt{\sqrt[4]{2^4 \cdot 8}} = \sqrt{\sqrt[4]{16 \cdot 8}} = \sqrt{\sqrt[4]{128}}$.

3. Используем свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$:

$\sqrt{\sqrt[4]{128}} = \sqrt[2 \cdot 4]{128} = \sqrt[8]{128}$.

4. Можно также представить 128 как $2^7$, тогда ответ будет $\sqrt[8]{2^7}$.

Ответ: $\sqrt[8]{128}$

д)

Разобьем задачу на три части: упрощение делимого, упрощение делителя и выполнение деления.

1. Упростим делимое $\sqrt{2\sqrt[3]{2}}$:

$\sqrt{2\sqrt[3]{2}} = \sqrt{\sqrt[3]{2^3 \cdot 2}} = \sqrt{\sqrt[3]{8 \cdot 2}} = \sqrt{\sqrt[3]{16}} = \sqrt[6]{16}$.

2. Упростим делитель $\sqrt[3]{2\sqrt{2}}$:

$\sqrt[3]{2\sqrt{2}} = \sqrt[3]{\sqrt{2^2 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{4 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{8}} = \sqrt[6]{8}$.

3. Выполним деление, используя свойство $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\sqrt[6]{16} : \sqrt[6]{8} = \sqrt[6]{\frac{16}{8}} = \sqrt[6]{2}$.

Ответ: $\sqrt[6]{2}$

е)

Для упрощения произведения $\sqrt[3]{32\sqrt[4]{2}} \cdot \sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt[3]{4}}}$ удобно перейти к степеням с рациональными показателями. Упростим каждый множитель отдельно.

1. Упростим первый множитель $\sqrt[3]{32\sqrt[4]{2}}$. Представим числа в виде степеней двойки: $32 = 2^5$.

$\sqrt[3]{32\sqrt[4]{2}} = (32 \cdot 2^{1/4})^{1/3} = (2^5 \cdot 2^{1/4})^{1/3} = (2^{5 + 1/4})^{1/3} = (2^{21/4})^{1/3} = 2^{\frac{21}{4} \cdot \frac{1}{3}} = 2^{21/12} = 2^{7/4}$.

2. Упростим второй множитель $\sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt[3]{4}}}$. Представим $4$ как $2^2$.

$\sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt[3]{4}}} = (2 \cdot (4 \cdot 4^{1/3})^{1/4})^{1/2} = (2 \cdot (2^2 \cdot (2^2)^{1/3})^{1/4})^{1/2} = (2 \cdot (2^2 \cdot 2^{2/3})^{1/4})^{1/2}$

$= (2 \cdot (2^{2+2/3})^{1/4})^{1/2} = (2 \cdot (2^{8/3})^{1/4})^{1/2} = (2 \cdot 2^{\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{4}})^{1/2} = (2 \cdot 2^{8/12})^{1/2} = (2 \cdot 2^{2/3})^{1/2}$

$= (2^{1+2/3})^{1/2} = (2^{5/3})^{1/2} = 2^{\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 2^{5/6}$.

3. Теперь перемножим полученные результаты:

$2^{7/4} \cdot 2^{5/6} = 2^{7/4 + 5/6}$

Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 12:

$\frac{7}{4} + \frac{5}{6} = \frac{7 \cdot 3}{12} + \frac{5 \cdot 2}{12} = \frac{21+10}{12} = \frac{31}{12}$.

Таким образом, выражение равно $2^{31/12}$.

4. Преобразуем результат обратно в вид с корнем, выделив целую часть из показателя степени:

$2^{31/12} = 2^{2 + 7/12} = 2^2 \cdot 2^{7/12} = 4 \cdot \sqrt[12]{2^7} = 4\sqrt[12]{128}$.

Ответ: $4\sqrt[12]{128}$