Номер 310, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение (310—311).

310. а) $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$;

б) $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{18}$;

в) $5\sqrt[3]{2a} \cdot \sqrt[3]{4b}$;

г) $\sqrt[5]{a} \cdot 2\sqrt[5]{a^4}$.

а) Для того чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$, воспользуемся свойством корней, согласно которому произведение корней одной и той же степени равно корню той же степени из произведения подкоренных выражений: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

Применяя это свойство, получаем:

$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8}$.

Так как $2^3 = 8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$.

Ответ: 2

б) Упростим выражение $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{18}$. Используем то же свойство, что и в предыдущем пункте.

$\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{18} = \sqrt[3]{3 \cdot 18} = \sqrt[3]{54}$.

Теперь упростим корень из 54. Для этого разложим число 54 на множители так, чтобы один из них был точным кубом.

$54 = 27 \cdot 2 = 3^3 \cdot 2$.

Тогда $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}$.

Ответ: $3\sqrt[3]{2}$

в) Рассмотрим выражение $5\sqrt[3]{2a} \cdot \sqrt[3]{4b}$. Для его упрощения перемножим числовой коэффициент (в данном случае 5) на результат произведения корней.

$5\sqrt[3]{2a} \cdot \sqrt[3]{4b} = 5 \cdot (\sqrt[3]{2a} \cdot \sqrt[3]{4b}) = 5 \cdot \sqrt[3]{2a \cdot 4b} = 5\sqrt[3]{8ab}$.

Упростим подкоренное выражение. Число 8 является кубом числа 2 ($2^3 = 8$).

$5\sqrt[3]{8ab} = 5 \cdot \sqrt[3]{8 \cdot ab} = 5 \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{ab} = 5 \cdot 2 \cdot \sqrt[3]{ab} = 10\sqrt[3]{ab}$.

Ответ: $10\sqrt[3]{ab}$

г) Упростим выражение $\sqrt[5]{a} \cdot 2\sqrt[5]{a^4}$. Перемножим коэффициенты и подкоренные выражения.

$\sqrt[5]{a} \cdot 2\sqrt[5]{a^4} = 2 \cdot (\sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{a^4}) = 2 \cdot \sqrt[5]{a \cdot a^4}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a \cdot a^4 = a^1 \cdot a^4 = a^{1+4} = a^5$.

Получаем: $2\sqrt[5]{a^5}$.

Корень n-ой степени из выражения в n-ой степени равен самому выражению: $\sqrt[n]{x^n} = x$ (для нечетных n).

Следовательно, $\sqrt[5]{a^5} = a$.

Итоговое выражение: $2 \cdot a = 2a$.

Ответ: $2a$