Номер 305, страница 95 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

305. Верно ли равенство:

а) $\sqrt[2m+1]{a^{2m+1}} = a$, где $a$ — любое действительное число;

б) $\sqrt[2m]{a^{2m}} = |a|$, где $a$ — любое действительное число;

в) $\sqrt[n]{a^p} = (\sqrt[n]{a})^p$, если $n$ — натуральное число, $n \ge 2$, $p$ — целое число, $a$ — положительное число?

а)

Рассмотрим равенство $\sqrt[2m+1]{a^{2m+1}} = a$, где $a$ — любое действительное число. Предполагается, что $m$ — натуральное число, тогда показатель корня $2m+1$ — это нечетное натуральное число, большее или равное 3.

По определению корня нечетной степени $n$, для любого действительного числа $b$ существует единственное действительное число $c$, такое что $c^n = b$. Это число $c$ и называется корнем $n$-й степени из $b$ и обозначается как $\sqrt[n]{b}$.

В данном случае степень корня $n = 2m+1$ является нечетным числом. Обозначим левую часть равенства как $c = \sqrt[2m+1]{a^{2m+1}}$. Согласно определению, это означает, что должно выполняться равенство $c^{2m+1} = a^{2m+1}$.

Поскольку степень $2m+1$ нечетная, уравнение $c^{2m+1} = a^{2m+1}$ имеет единственное действительное решение $c = a$. Это справедливо для любого действительного числа $a$, как положительного, так и отрицательного, и для $a=0$.

Например, если $a = 2, m=1$: $\sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8} = 2$. Если $a = -2, m=1$: $\sqrt[3]{(-2)^3} = \sqrt[3]{-8} = -2$. Таким образом, данное равенство является тождеством.

Ответ: Да, равенство верно.

б)

Рассмотрим равенство $\sqrt[2m]{a^{2m}} = |a|$, где $a$ — любое действительное число. Предполагается, что $m$ — натуральное число, тогда показатель корня $2m$ — это четное натуральное число, большее или равное 2.

По определению арифметического корня четной степени $n$, для любого неотрицательного числа $b$ ($\text{т.е. } b \ge 0$) корнем $n$-й степени называется такое неотрицательное число $c$ ($\text{т.е. } c \ge 0$), что $c^n = b$. Обозначается как $\sqrt[n]{b}$.

В нашем случае степень корня $n = 2m$ является четным числом. Подкоренное выражение $a^{2m} = (a^2)^m$ всегда неотрицательно ($a^{2m} \ge 0$) для любого действительного числа $a$, поэтому корень определен.

Обозначим левую часть равенства как $c = \sqrt[2m]{a^{2m}}$. По определению арифметического корня, $c$ должно быть неотрицательным ($c \ge 0$) и должно выполняться равенство $c^{2m} = a^{2m}$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $a \ge 0$, то $|a| = a$. Тогда равенство принимает вид $\sqrt[2m]{a^{2m}} = a$. Так как $a \ge 0$, это верно по определению арифметического корня.

2. Если $a < 0$, то $|a| = -a$. В этом случае $-a > 0$. Подкоренное выражение $a^{2m} = (-1 \cdot (-a))^{2m} = (-1)^{2m} \cdot (-a)^{2m} = 1 \cdot (-a)^{2m} = (-a)^{2m}$. Тогда $\sqrt[2m]{a^{2m}} = \sqrt[2m]{(-a)^{2m}}$. Поскольку $-a > 0$, по определению арифметического корня $\sqrt[2m]{(-a)^{2m}} = -a$. А так как для $a<0$ имеем $|a| = -a$, то левая часть равна правой.

В обоих случаях мы получаем, что $\sqrt[2m]{a^{2m}} = |a|$. Таким образом, данное равенство является тождеством.

Ответ: Да, равенство верно.

в)

Рассмотрим равенство $\sqrt[n]{a^p} = (\sqrt[n]{a})^p$, если $n$ — натуральное число, $n \ge 2$, $p$ — целое число, $a$ — положительное число ($a>0$).

Поскольку $a > 0$, обе части равенства определены для любых указанных $n$ и $p$.

Это равенство является одним из основных свойств степеней с рациональными показателями. Для любого $a > 0$, натурального $n \ge 2$ и целого $p$ справедливы следующие преобразования с использованием определения степени с рациональным показателем $a^{p/n} = \sqrt[n]{a^p}$:

1. Преобразуем левую часть: $\sqrt[n]{a^p}$ по определению равно $a^{\frac{p}{n}}$.

2. Преобразуем правую часть: $(\sqrt[n]{a})^p$. Так как $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$, то $(\sqrt[n]{a})^p = (a^{\frac{1}{n}})^p$. По свойству степеней $(x^y)^z = x^{yz}$, получаем $a^{\frac{1}{n} \cdot p} = a^{\frac{p}{n}}$.

Поскольку обе части равенства равны одному и тому же выражению $a^{\frac{p}{n}}$, они равны между собой.

Докажем это и другим способом, не используя степени с рациональным показателем. Пусть $x = (\sqrt[n]{a})^p$. Возведем обе части в степень $n$: $x^n = ((\sqrt[n]{a})^p)^n$. Используя свойство степеней $(b^k)^m = (b^m)^k$, получим: $x^n = ((\sqrt[n]{a})^n)^p$. По определению корня $n$-й степени, $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Значит, $x^n = a^p$.

Так как $a > 0$, то $\sqrt[n]{a} > 0$, и, следовательно, $x = (\sqrt[n]{a})^p > 0$ (за исключением случая $p=0$, когда $x=1$, или если бы $a=1$). По определению арифметического корня, если $x > 0$ и $x^n = a^p$, то $x = \sqrt[n]{a^p}$. Мы получили, что левая и правая части исходного равенства равны. Следовательно, равенство верно при заданных условиях.

Ответ: Да, равенство верно.