Номер 301, страница 93 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Решите уравнение (301–302):

301. a) $x^4 = 15;$

б) $x^3 = 26;$

в) $x^5 = 31;$

г) $x^6 = 2;$

д) $x^3 = -5;$

е) $x^4 = -4.$

а) Дано уравнение $x^4 = 15$. Показатель степени $n=4$ — четное число, а правая часть уравнения $a=15$ — положительное число. Уравнение такого вида ($x^{2k}=a$, где $a>0$) имеет два действительных корня, которые являются противоположными числами. Извлекая корень четвертой степени из обеих частей, получаем $x = \pm\sqrt[4]{15}$.
Ответ: $\pm\sqrt[4]{15}$.

б) Дано уравнение $x^3 = 26$. Показатель степени $n=3$ — нечетное число. Уравнение вида $x^{2k+1}=a$ всегда имеет один действительный корень для любого значения $a$. Чтобы найти корень, нужно извлечь кубический корень из правой части. Таким образом, $x = \sqrt[3]{26}$.
Ответ: $\sqrt[3]{26}$.

в) Дано уравнение $x^5 = 31$. Показатель степени $n=5$ — нечетное число. Аналогично предыдущему пункту, такое уравнение имеет единственный действительный корень. Извлекаем корень пятой степени из обеих частей уравнения и получаем $x = \sqrt[5]{31}$.
Ответ: $\sqrt[5]{31}$.

г) Дано уравнение $x^6 = 2$. Здесь показатель степени $n=6$ — четное число, а правая часть $a=2$ — положительное число. Следовательно, уравнение имеет два действительных корня. Извлекаем корень шестой степени из обеих частей уравнения, что дает нам $x = \pm\sqrt[6]{2}$.
Ответ: $\pm\sqrt[6]{2}$.

д) Дано уравнение $x^3 = -5$. Показатель степени $n=3$ — нечетное число. Корень нечетной степени можно извлекать из отрицательного числа. Уравнение имеет один действительный корень. Извлекаем кубический корень из обеих частей: $x = \sqrt[3]{-5}$. Это значение также можно записать как $-\sqrt[3]{5}$.
Ответ: $\sqrt[3]{-5}$.

е) Дано уравнение $x^4 = -4$. Показатель степени $n=4$ — четное число. Любое действительное число, возведенное в четную степень, дает в результате неотрицательное число, то есть $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$. Поскольку правая часть уравнения равна $-4$ (отрицательное число), данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: нет действительных корней.