Номер 296, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

296¹. Упростите выражение:

а) $\sqrt[4]{m^4}$;

б) $\sqrt[4]{(-m)^4}$;

в) $\sqrt{(x-1)^2}$, если $x < 1$;

г) $\sqrt{(1-x)^2}$, если $x \geq 1$.

а) Упростим выражение $\sqrt[4]{m^4}$.

По определению арифметического корня четной степени, для любого числа $a$ и натурального числа $k$ выполняется тождество $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$. В данном случае показатель корня и показатель степени подкоренного выражения равны 4 (четное число). Следовательно, мы можем применить это свойство:

$\sqrt[4]{m^4} = |m|$

Ответ: $|m|$

б) Упростим выражение $\sqrt[4]{(-m)^4}$.

Аналогично пункту а), мы имеем корень четной степени (4) из выражения, возведенного в ту же степень. Применяем свойство $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$. В этом случае подкоренное выражение $a = -m$.

$\sqrt[4]{(-m)^4} = |-m|$

Модуль противоположных чисел равен, то есть $|-m| = |m|$.

Ответ: $|m|$

в) Упростим выражение $\sqrt{(x-1)^2}$, если $x < 1$.

Квадратный корень является корнем второй степени (четной), поэтому для любого выражения $a$ справедливо равенство $\sqrt{a^2} = |a|$. Применяя это правило, получаем:

$\sqrt{(x-1)^2} = |x-1|$

Теперь воспользуемся условием $x < 1$. Если $x$ меньше 1, то разность $x-1$ будет отрицательной, то есть $x-1 < 0$. По определению модуля, если выражение под знаком модуля отрицательно, то его модуль равен противоположному выражению: $|b| = -b$, если $b < 0$.

Следовательно, $|x-1| = -(x-1) = -x + 1 = 1-x$.

Ответ: $1-x$

г) Упростим выражение $\sqrt{(1-x)^2}$, если $x \ge 1$.

Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(1-x)^2} = |1-x|$

Рассмотрим условие $x \ge 1$. Из этого неравенства следует, что $1-x \le 0$ (разность будет отрицательной или равной нулю). По определению модуля, если выражение под знаком модуля неположительно, то его модуль равен противоположному выражению: $|b| = -b$, если $b \le 0$.

Следовательно, $|1-x| = -(1-x) = -1 + x = x-1$.

Ответ: $x-1$