Номер 295, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

295. Упростите выражение:

а) $ \sqrt[3]{32} $;

б) $ \sqrt[5]{800} $;

в) $ \sqrt[3]{48} - \sqrt[3]{750} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{162} $;

г) $ \sqrt[4]{80} $;

д) $ \sqrt[4]{405} $;

е) $ 30\sqrt[3]{\frac{1}{12}} + \frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{2}{3}} + 5\sqrt[3]{144} $;

ж) $ \sqrt[4]{81 \cdot (4 - \sqrt{17})^4} $;

з) $ \sqrt[3]{0.001} - \sqrt[6]{0.000064} $.

а) Чтобы упростить выражение $ \sqrt[3]{32} $, вынесем множитель из-под знака корня. Для этого разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был точным кубом. Число $32$ можно представить как $ 8 \cdot 4 $, где $8$ является кубом числа $2$ ($ 2^3=8 $).
$ \sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{8 \cdot 4} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 4} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{4} = 2\sqrt[3]{4} $.
Ответ: $ 2\sqrt[3]{4} $.

б) Для упрощения $ \sqrt[5]{800} $ разложим число $800$ на множители, чтобы выделить множитель, являющийся пятой степенью какого-либо числа. $ 800 = 8 \cdot 100 = 2^3 \cdot 10^2 = 2^3 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^3 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^5 \cdot 5^2 $. Теперь извлечем корень: $ \sqrt[5]{800} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 5^2} = \sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{5^2} = 2\sqrt[5]{25} $.
Ответ: $ 2\sqrt[5]{25} $.

в) Рассмотрим выражение $ \sqrt[3]{48} - \sqrt[3]{750} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{162} $. Для его упрощения необходимо привести все слагаемые к общему виду, вынося множители из-под знака корня. Общим подкоренным выражением, скорее всего, будет $6$.
$ \sqrt[3]{48} = \sqrt[3]{8 \cdot 6} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 6} = 2\sqrt[3]{6} $.
$ \sqrt[3]{750} = \sqrt[3]{125 \cdot 6} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 6} = 5\sqrt[3]{6} $.
$ \sqrt[3]{162} = \sqrt[3]{27 \cdot 6} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 6} = 3\sqrt[3]{6} $.
Подставим упрощенные значения в исходное выражение: $ 2\sqrt[3]{6} - 5\sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{6} + 3\sqrt[3]{6} $.
Сгруппируем коэффициенты: $ (2 - 5 + 1 + 3)\sqrt[3]{6} = 1 \cdot \sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{6} $.
Ответ: $ \sqrt[3]{6} $.

г) Чтобы упростить $ \sqrt[4]{80} $, разложим $80$ на множители, выделив четвертую степень. $ 80 = 16 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5 $.
$ \sqrt[4]{80} = \sqrt[4]{16 \cdot 5} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{5} = 2\sqrt[4]{5} $.
Ответ: $ 2\sqrt[4]{5} $.

д) Для упрощения $ \sqrt[4]{405} $ разложим $405$ на множители. $ 405 = 81 \cdot 5 = 3^4 \cdot 5 $.
$ \sqrt[4]{405} = \sqrt[4]{81 \cdot 5} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{5} = 3\sqrt[4]{5} $.
Ответ: $ 3\sqrt[4]{5} $.

е) Упростим выражение $ 30\sqrt[3]{\frac{1}{12}} + \frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{2}{3}} + 5\sqrt[3]{144} $. Для этого приведем все члены к общему подкоренному выражению.
1. Упростим первый член: $ 30\sqrt[3]{\frac{1}{12}} $. Чтобы избавиться от дроби под корнем, домножим числитель и знаменатель на такое число, чтобы знаменатель стал точным кубом. $ 12 = 2^2 \cdot 3 $. Чтобы получить куб, нужно домножить на $ 2 \cdot 3^2 = 18 $. $ 30\sqrt[3]{\frac{1}{12}} = 30\sqrt[3]{\frac{1 \cdot 18}{12 \cdot 18}} = 30\sqrt[3]{\frac{18}{216}} = 30\frac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{6^3}} = 30\frac{\sqrt[3]{18}}{6} = 5\sqrt[3]{18} $.
2. Упростим второй член: $ \frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{2}{3}} $. Домножим числитель и знаменатель дроби под корнем на $3^2=9$. $ \frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{2}{3}} = \frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 9}} = \frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{18}{27}} = \frac{7}{2}\frac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{3^3}} = \frac{7}{2}\frac{\sqrt[3]{18}}{3} = \frac{7}{6}\sqrt[3]{18} $.
3. Упростим третий член: $ 5\sqrt[3]{144} $. $ 144 = 8 \cdot 18 = 2^3 \cdot 18 $. $ 5\sqrt[3]{144} = 5\sqrt[3]{8 \cdot 18} = 5\sqrt[3]{2^3 \cdot 18} = 5 \cdot 2\sqrt[3]{18} = 10\sqrt[3]{18} $.
Теперь сложим полученные выражения: $ 5\sqrt[3]{18} + \frac{7}{6}\sqrt[3]{18} + 10\sqrt[3]{18} = (5 + \frac{7}{6} + 10)\sqrt[3]{18} = (15 + \frac{7}{6})\sqrt[3]{18} = (\frac{90}{6} + \frac{7}{6})\sqrt[3]{18} = \frac{97}{6}\sqrt[3]{18} $.
Ответ: $ \frac{97}{6}\sqrt[3]{18} $.

ж) Упростим $ \sqrt[4]{81 \cdot (4-\sqrt{17})^4} $. Используем свойство корня из произведения $ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} $ (для $ a, b \ge 0 $). $ \sqrt[4]{81 \cdot (4-\sqrt{17})^4} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{(4-\sqrt{17})^4} $.
Вычислим каждый множитель: $ \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3 $.
Для второго множителя используем свойство $ \sqrt[n]{x^n} = |x| $ для четного $n$. $ \sqrt[4]{(4-\sqrt{17})^4} = |4-\sqrt{17}| $.
Определим знак выражения в модуле. Сравним $4$ и $\sqrt{17}$. Для этого сравним их квадраты: $4^2 = 16$ и $(\sqrt{17})^2 = 17$. Поскольку $16 < 17$, то $4 < \sqrt{17}$, значит, разность $4 - \sqrt{17}$ отрицательна. По определению модуля, $|x| = -x$, если $x < 0$. Следовательно, $|4-\sqrt{17}| = -(4-\sqrt{17}) = \sqrt{17}-4$. Перемножим результаты: $3 \cdot (\sqrt{17}-4) = 3\sqrt{17}-12$.
Ответ: $ 3\sqrt{17}-12 $.

з) Рассмотрим выражение $ \sqrt[3]{0,001} - \sqrt[6]{0,000064} $.
Упростим каждый член по отдельности.
$ \sqrt[3]{0,001} = \sqrt[3]{(0,1)^3} = 0,1 $.
$ \sqrt[6]{0,000064} = \sqrt[6]{64 \cdot 10^{-6}} = \sqrt[6]{2^6 \cdot (10^{-1})^6} = \sqrt[6]{(2 \cdot 10^{-1})^6} = \sqrt[6]{(0,2)^6} = 0,2 $.
Теперь выполним вычитание: $ 0,1 - 0,2 = -0,1 $.
Ответ: $ -0,1 $.