Номер 302, страница 93 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

302. a) $x^4 - 3x^2 - 4 = 0;$

в) $x^8 + 5x^4 - 6 = 0;$

д) $x^8 - 5x^4 + 4 = 0;$

б) $x^6 - 3x^3 - 4 = 0;$

г) $x^8 - 7x^4 - 8 = 0;$

е) $x^8 + 7x^4 - 8 = 0.$

а) $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$.
Исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 - 3y - 4 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4$.
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1$.

Теперь вернемся к замене и учтем условие $y \ge 0$.
Корень $y_1 = 4$ удовлетворяет условию $y \ge 0$.
Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию, поэтому он является посторонним.
Итак, имеем $x^2 = 4$. Отсюда находим $x$: $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x = \pm 2$.

Ответ: $x = \pm 2$.

б) $x^6 - 3x^3 - 4 = 0$

Данное уравнение сводится к квадратному с помощью замены. Пусть $y = x^3$. Для $y$ нет ограничений по знаку.
Уравнение принимает вид:

$y^2 - 3y - 4 = 0$

Это то же самое квадратное уравнение, что и в пункте а), его корни $y_1 = 4$ и $y_2 = -1$.
Оба корня подходят. Выполним обратную замену для каждого корня:

1) Если $y = 4$, то $x^3 = 4$, откуда $x = \sqrt[3]{4}$.
2) Если $y = -1$, то $x^3 = -1$, откуда $x = \sqrt[3]{-1} = -1$.

Ответ: $x = -1; \sqrt[3]{4}$.

в) $x^8 + 5x^4 - 6 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^4$. Так как $x^4 \ge 0$, то и $y \ge 0$.
Уравнение примет вид:

$y^2 + 5y - 6 = 0$

Найдем корни по теореме Виета: $y_1 + y_2 = -5$ и $y_1 \cdot y_2 = -6$.
Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -6$.
Проверим условие $y \ge 0$. Корень $y_1 = 1$ подходит, а корень $y_2 = -6$ — нет.
Выполняем обратную замену для подходящего корня:
$x^4 = 1$
Отсюда $x = \pm \sqrt[4]{1}$, то есть $x = \pm 1$.

Ответ: $x = \pm 1$.

г) $x^8 - 7x^4 - 8 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^4$, где $y \ge 0$.
Уравнение примет вид:

$y^2 - 7y - 8 = 0$

Найдем корни по теореме Виета: $y_1 + y_2 = 7$ и $y_1 \cdot y_2 = -8$.
Корни: $y_1 = 8$ и $y_2 = -1$.
Проверим условие $y \ge 0$. Корень $y_1 = 8$ подходит, а корень $y_2 = -1$ — нет.
Выполняем обратную замену:
$x^4 = 8$
Отсюда $x = \pm \sqrt[4]{8}$.

Ответ: $x = \pm \sqrt[4]{8}$.

д) $x^8 - 5x^4 + 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^4$, где $y \ge 0$.
Уравнение примет вид:

$y^2 - 5y + 4 = 0$

Найдем корни по теореме Виета: $y_1 + y_2 = 5$ и $y_1 \cdot y_2 = 4$.
Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = 1$.
Оба корня положительны, значит, оба подходят.
Выполняем обратную замену для каждого корня:

1) Если $y = 4$, то $x^4 = 4$. Отсюда $x^2 = \sqrt{4} = 2$ (так как $x^2 \ge 0$). Тогда $x = \pm\sqrt{2}$.
2) Если $y = 1$, то $x^4 = 1$. Отсюда $x = \pm\sqrt[4]{1} = \pm 1$.

Ответ: $x = \pm 1; \pm\sqrt{2}$.

е) $x^8 + 7x^4 - 8 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^4$, где $y \ge 0$.
Уравнение примет вид:

$y^2 + 7y - 8 = 0$

Найдем корни по теореме Виета: $y_1 + y_2 = -7$ и $y_1 \cdot y_2 = -8$.
Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -8$.
Проверим условие $y \ge 0$. Корень $y_1 = 1$ подходит, а корень $y_2 = -8$ — нет.
Выполняем обратную замену для подходящего корня:
$x^4 = 1$
Отсюда $x = \pm\sqrt[4]{1}$, то есть $x = \pm 1$.

Ответ: $x = \pm 1$.