Номер 306, страница 95 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите (306–308):

306. а) $ (\sqrt{3})^2; $

б) $ \sqrt[3]{8^2}; $

в) $ \sqrt[3]{125^2}; $

г) $ \sqrt[4]{81^3}; $

д) $ \sqrt{49^3}; $

е) $ \sqrt[3]{27^2}; $

ж) $ \sqrt[4]{16^3}; $

з) $ \sqrt[5]{32^4}. $

а) По определению квадратного корня, возведение квадратного корня из числа в квадрат дает само это число. Таким образом, $(\sqrt{3})^2 = 3$.

Ответ: 3

б) Для вычисления выражения $\sqrt[3]{8^2}$ воспользуемся свойством корня $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$. Это позволяет сначала извлечь корень, а затем возвести результат в степень, что часто упрощает вычисления.
$\sqrt[3]{8^2} = (\sqrt[3]{8})^2$.
Так как $2^3=8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$.
Следовательно, $(\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

Ответ: 4

в) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$.
$\sqrt[3]{125^2} = (\sqrt[3]{125})^2$.
Находим корень третьей степени из 125: $\sqrt[3]{125} = 5$, потому что $5^3 = 125$.
Затем возводим результат в квадрат: $5^2 = 25$.

Ответ: 25

г) Применим то же свойство для вычисления $\sqrt[4]{81^3}$:
$\sqrt[4]{81^3} = (\sqrt[4]{81})^3$.
Корень четвертой степени из 81 равен 3, так как $3^4 = 81$.
Возводим 3 в куб: $3^3 = 27$.

Ответ: 27

д) Выражение $\sqrt{49^3}$ — это квадратный корень из $49^3$. Применим свойство $(\sqrt{a})^m = \sqrt{a^m}$.
$\sqrt{49^3} = (\sqrt{49})^3$.
Квадратный корень из 49 равен 7.
Возводим 7 в третью степень: $7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 343$.

Ответ: 343

е) Для вычисления $\sqrt[3]{27^2}$ снова используем свойство $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$:
$\sqrt[3]{27^2} = (\sqrt[3]{27})^2$.
Находим корень: $\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.
Возводим в квадрат: $3^2 = 9$.

Ответ: 9

ж) Вычисляем $\sqrt[4]{16^3}$, применяя свойство $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$:
$\sqrt[4]{16^3} = (\sqrt[4]{16})^3$.
Извлекаем корень четвертой степени из 16: $\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$.
Возводим результат в куб: $2^3 = 8$.

Ответ: 8

з) Для вычисления $\sqrt[5]{32^4}$ используем то же свойство:
$\sqrt[5]{32^4} = (\sqrt[5]{32})^4$.
Находим корень пятой степени из 32: $\sqrt[5]{32} = 2$, так как $2^5 = 32$.
Возводим результат в четвертую степень: $2^4 = 16$.

Ответ: 16